Элементы линейной алгебры

Косвенные методы перевода служат для более быстрого, а, возможно, и удобного перевода чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления (Рис.1).

Рис. 1

Эти же методы помогут осуществить и перевод чисел между 2с/с и 10с/с через 8с/с или 16с/с и (Рис. 2, Рис.3) .

Рис. 2 Рис. 3

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления тесно связаны с двоичной системой счисления, т.к. числа 8 и 16 являются соответственно 3 и 4 степенью числа 2. Существуют более быстрые способы перевода между этими тремя системами счисления. Для удобства сведем системы счисления в таблицу:

10с/с	2с/с	8с/с	16с/с










			А
			В
			С
			D
			E
			F

Правило 5. Перевод из 2с/с в 8с/с

Двоичное число разбиваем по 3 разряда (триада) влево (для целой части) и вправо (для дробной части) от запятой. При необходимости добавляем незначащие нули. Каждую полученную триаду заменяем восьмеричной цифрой (см. Таблицу 1). Получаем число в 8с/с.

Пример: Преобразуем число 11111101100100,0110101001₂ в 8с/с

Разобьем число на триады: 11 111 101 100 100,011 010 100 1₂,

Добавим незначащие нули слева и справа:

011 111 101 100 100 , 011 010 100 100

Заменим триады восьмеричными цифрами:

Запишем восьмеричное число, не забывая про десятичную запятую:

37544,3244₈

Правило 6. Перевод из 2с/с в 16с/с

Двоичное число разбиваем по 4 разряда (тетрада) влево (для целой части) и вправо (для дробной части) от запятой. При необходимости добавляем незначащие нули. Каждую полученную тетраду заменяем шестнадцатеричной цифрой (см. Таблицу 1). Получаем число в 16с/с.

Пример: Преобразуем число 11111101100100,0110101001₂ в 16с/с

Разобьем число на триады: 11 1111 0110 0100 , 0110 1010 01.

Добавим незначащие нули: 0011 1111 0110 0100 , 0110 1010 0100

Запишем шестнадцатеричное число, не забывая про десятичную запятую:

3F64,6A4₁₆.

Правило 7. Перевод из 8с/с в 2с/с

Каждая восьмеричная цифра заменяется 3 разрядами двузначного числа. Отбрасываются незначащие нули слева (в целой части числа) и справа (в дробной части числа). Получаем число в 2с/с.

Пример: Переведем 37544,3244₈ в 2с/с

Запишем двоичные цифры, отбрасывая незначащие нули, и не забудем про десятичную запятую:

11111101100100,0110101001₂

Правило 8. Перевод из 16с/с в 2с/с

Каждая шестнадцатеричная цифра заменяется 4 разрядами двузначного числа. Отбрасываются незначащие нули слева (в целой части числа) и справа (в дробной части числа). Получаем число в 2с/с.

Пример: Переведем число 3F64,6A4₁₆ в 2с/с

Запишем двоичные цифры, отбрасывая незначащие нули, и не забудем про десятичную запятую:

11111101100100,0110101001₂

Элементы линейной алгебры

Теоретические вопросы

Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?
Назовите основные свойства определителей.
Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?
Назовите методы вычисления определителей третьего, n-го порядков.
Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?
Что называется матрицей?
Как определяются основные действия над матрицами?
Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?
Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?
Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.
Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.
Какова геометрическая интерпретация системы линейных уравнений и неравенств?

Часть I.

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Рассмотрим систему уравнений:

(1)

где х,у,z – неизвестные; коэффициенты а₁₁, а₁₂,…., а₃₃ и свободные члены ₁, ₂, ₃ – известные постоянные (числа)

Введем обозначения:

;

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется определителем данной системы.

Определители , получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и третьего столбца – столбцом свободных членов данной системы.

Если то система (1) имеет единственное решение; оно определяется формулами:

(2)

Формулы (2) называются формулами Крамера.

Если определитель системы а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система (1) не имеет решений.

В случае, когда и одновременно , система (1) также может не иметь решений; но если система в этом случае имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

Решение типового примера.

Пусть требуется, используя формулы Крамера, решить систему

Вычислим сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка:

= .

У нас

Так как делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Найдём его. Вычислим вспомогательные определители , .

;

Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим

Осуществим проверку правильности полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.

Ответ: х = 0; у = –1; z = 2.

Часть II

Матричный метод решения системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений

(1)

Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; X – матрицу – столбец неизвестных х, у, z; В – матрицу – столбец свободных членов ₁, ₂, _3:

А= ; Х= ; В=

С учетом этих обозначений данная система уравнений (1) принимает следующую матричную форму:

(2)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (2) на , получим:

но (Е – единичная матрица), а , поэтому

(3)

Равенство (3) называется матричной записью решения системы линейных уравнений (1). Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

, ее определитель

Тогда

= (4)

где А j ( =1, 2, 3; j=1, 2. 3) – алгебраическое дополнение элемента _ij в определителе матрицы А, которое является произведением на минор (определитель второго порядка), полученный вычеркиванием -ой строки и j-го столбца в определителе матрицы А.