Числовые неравенства и их свойства

Пусть А и В – два числовых выражения. Соединив их знаком > или <, получим некоторое высказывание, называемое числовым неравенством. Неравенство А < В считается истинным, если А и В имеют числовые значения, причем числовое значение выражения А меньше числового значения выражения В.

Пример. 2 + 5 < 3 ∙ 4 – истинное неравенство, т.к. левая часть имеет значение 7, правая имеет значение 12 и 7 < 12.

Неравенство А ≤ В является дизъюнкцией неравенства А < В и равенства А = В. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных элементарных высказываний.

Неравенство А < В < С является конъюнкцией неравенств А < В и В < С. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинны оба неравенства.

Выполнив указанные в числовых выражениях действия, мы получим в левой и правой части неравенства соответствующие числа. Пусть а, b, с, d – соответствующие значения числовых выражений А, B, C, D.

Свойства числовых неравенств

1) если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство (А < В Þ (А) + (С) < (В) + (С));

2) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то полученное числовое неравенство будет также истинным (А < В Þ (А) ∙ (С) < (В) ∙ (С));

3) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то, чтобы получить истинное числовое неравенство, необходимо знак неравенства поменять на противоположный (А < В Þ (А) ∙ (С) > (В) ∙ (С));

4) неравенства одного знака можно почленно складывать (А < В, С < D Þ (А) + (С) < (В) + (D));

5) неравенства одного знака, имеющие положительные значения, можно почленно перемножать (если А < В, С < D, причем а, b, с, d > 0, то (А) ∙ (С) < (В) ∙ (D));

6) обе части истинного числового неравенства можно возвести в одну и ту же нечетную степень (если п – нечетное натуральное число, то А < В Û (А)^п < (В) ^п);

7) возводить в четную степень обе части неравенства можно лишь в том случае, если обе они имеют неотрицательные значения (если п – четное натуральное число и а, b ≥ 0, то А < В Û (А)^п < (В) ^п);

8) если а, b < 0, А < В Û > .