Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций

На рисунке дан граф соответствия между множествами
Х = {а; b; с; d; е}, Y = {1; 2; 3; 4; 5}. Данное соответствие таково, что не у каждого элемента множества Х есть соответствующий элемент множества Y, но если есть, то он единственный.

А = {а; b; с} – множество тех элементов, для которых есть соответствующий элемент в множестве Y. Заметим, что каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества Y.

Определение. Соответствие между множествами Х и Y, где каждому элементу множества Х соответствует не более одного элемента множества Y, называется функциональным соответствием или функцией.

Функции обозначают буквами латинского алфавита f, g, h и др. и пишут: у = f (х).

х – независимая переменная или аргумент, все значения, которые принимает независимая переменная – область определения функции.

Пусть дана функция f с областью определения А Ì Х, где Х – множество отправления функции f. Множество прибытия обозначим Y.

Элемент у Î Y, соответствующий элементу х Î А, называют значением функции f и пишут у = f (х).

Определение. Множество всех у Î Y, которые являются значениями функции f, называют множеством значений функции f.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Пример. Пусть дана функция f (х) = . Областью определения функции f (х) является множество R \ {2}.

Способы задания функций

1) Аналитическое задание функции – задание функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) – некоторое выражение в переменной х.

2) Табличное задание функции – приводится таблица, указывающая значение функции для имеющихся в таблице значениях аргумента. Этот способ часто используется на практике, когда зависимость одной величины от другой находят опытным путем; оказывается удобным, т.к. позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.

3) Графическое задание функции. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Свойства функций

Четные и нечетные функции

Определение. Функция у = f (х) называется четной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = f (х).

Определение. Функция у = f (х) называется нечетной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = – f (х).

Из определений следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если х Î Х, то – х Î Х.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Возрастающие и убывающие функции

Определение. Функция у = f (х) называется возрастающей на промежутке Х, если "х₁, х₂ Î Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f (х₁) < f (х₂).

Определение. Функция у = f (х) называется убывающей на промежутке Х, если "х₁, х₂ Î Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f (х₁) > f (х₂).

Определение. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.