Равномощные множества. Счетные и несчетные множества

Определение. Два множества Х и Y равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х ~ Y).

Пример. Множество сторон четырехугольника и множество его углов.

Понятие равномощности применимо как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов (равномощные конечные множества называют равночисленными).

Рассмотрим примеры равномощных бесконечных множеств: N – множество натуральных чисел, А – множество четных натуральных чисел (А Ì N). Каждому натуральному числу поставим в соответствие число, которое больше его в 2 раза:

1 2 3 4 5…

2 4 6 8 10 …

Установленное соответствие взаимно однозначно, т.к. каждому натуральному числу соответствует единственное число из множества Y и наоборот: каждое число из множества Y соответствует единственному натуральному числу. Следовательно, множество натуральных чисел равномощно множеству четных натуральных чисел.

Определение. Бесконечное множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным.

Примеры счетных множеств: целых чисел, целых неотрицательных чисел, любое подмножество каждого из этих множеств.

Теорема (без доказательства). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Примеры несчетных множеств: множество всех действительных чисел, множество всех точек на прямой, множество всех точек плоскости.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение декартова произведения множеств.

2. Перечислите способы задания декартова произведения множеств.

3. В каком отношении находятся множества X × Y и Y × X?

4. Что называют соответствием между множествами Х и Y?

5. Какое множество называют областью отправления, областью прибытия, областью определения и множеством значений соответствия?

6. Перечислите способы задания соответствий.

7. Какое соответствие называют отображением множества Х в множество Y; отображением множества Х на множество Y?

8. Какое соответствие называют взаимно однозначным соответствием?

9. Какие множества называют равномощными? В каком случае равномощны конечные множества?

10. Какие множества называют счетными? Приведите примеры счетных и несчетных множеств.