Распределения Максвелла и Больцмана.

Первым распределением статистической физики было распределение частиц идеального газа. находящегося в равновесии, по скоростям. Оно было получено Максвеллом с помощью теории вероятностей и кинетических представлений. Максвелл нашел число частиц ансамбля, скорости которых лежат в интервале . Это число можно записать в виде

,

где функция скорости называется функцией распределения Максвелла по скоростям.

В силу независимости движений по ортогональным осям функцию распределения можно представить произведением функций , что позволит вначале рассмотреть случай одномерного движения, например, вдоль оси Х. Тогда

, где

Максвелл доказал, что в одномерном случае

,

– масса частицы, – постоянная Больцмана, – абсолютная температура ансамбля в кельвинах, а постоянная определяется условием нормирования функции распределения на число частиц N

,

предполагается, что при тепловом (хаотическом) движении вдоль оси Х скорость частицы может принимать любые значения от до .

Для определения константы нормировки удобно сначала сделать замену переменной

,

так что

,

после чего число частиц

и условие нормировки принимает вид

.

Здесь рассматривается «табличный» интеграл Френеля

,

и постоянная нормировки для одномерного движения приобретает вид

.

Теперь нормированную на число частиц функцию распределения Максвелла по скоростям в случае одномерного движения можно записать в виде

.

Позже это распределение было проверено экспериментально и получило хорошее подтверждение в опытах Штерна и Герлаха.

Напомним, что рассматривалось одномерное движение. Для рассмотрения трехмерного движения надо вспомнить, что в силу независимости движения по ортогональным осям координат

и опять провести нормировку на число частиц:

.

Здесь перемножаются три одинаковых интеграла типа

,

так что новая постоянная нормировки

.

Значит, в случае трехмерного движения функция распределения Максвелла имеет вид

.

Уместно замечание о том, что в настоящее время чаще используют распределение не по скоростям, а по импульсам (тогда это распределение можно использовать в релятивистских задачах):

.

Эта функции распределения относится к случаю прямоугольной Декартовой системы координат. Однако часто удобнее использовать сферическую систему координат, считая, что

,

при этом по телесному углу можно проинтегрировать, что дает множитель , и тогда можно заменить множителем . Функция распределения в этом случае зависит от модуля скорости, изменяющемся в интервале . Такая функция называется функцией распределения Максвелла по модулям скоростей и имеет вид

.

Функцию распределения по модулям скоростей можно изобразить графиком (см. рис. 9).

На рисунке 9 приближенное изображение функции распределения Максвелла для некоторой температуры T. Точка А – точка касания горизонтальной прямой – максимум функции . Этой точке соответствует наиболее вероятная скорость. Площадь под кривой определяет условие нормировки (1 или N). При повышении температуры максимум сдвигается вправо, становясь ниже, так что нормировка и площадь под кривой сохраняются.

При изучении распределения Максвелла по скоростям Больцман заметил, что в показателе экспоненты стоит отношение кинетической энергии к энергии . Это послужило основанием для обобщения распределения на случай, когда частица имеет потенциальную энергию. Такое распределение часто называют распределением Больцмана. В этом случае функция распределения может быть записана в виде

,

где нормировка проводится по всем координатам, либо по указанной координатной области.

Например, если рассматривается изотермическая атмосфера, находящаяся в равновесии,

и потенциальная энергия частиц ансамбля равна

,

где Z – высота над уровнем моря, то тогда

.

Нормировка может проводиться на плотность частиц в единице объема (на концентрацию частиц ) или на давление P(Z). Тогда говорят о барометрических распределениях, имеющих вид

,

.

Величины, имеющие индексы «0» – отмечают значения на уровне моря.

Аналогичным образом можно записать распределение гармонических осцилляторов по энергиям. Если считать, что энергия осциллятора равна

,

то соответствующая функция распределения имеет вид

.

Дальнейшим обобщением функций распределения в классической статистической физике является распределение Максвелла – Больцмана, которое учитывает и пространственные, и скоростные переменные:

.

распределения зависит как от скорости, так и от координаты частицы (поскольку потенциальная энергия есть функция координат). Соответственно определяющие нормировку и используемые для вычисления интегралы учитывают как интегрирование по скоростям, так и по координатам (по всему фазовому пространству).

Мы отмечали, что рассматривались равновесные ансамбли. Для теории технологических процессов, когда имеются интенсивные внешние воздействия на ансамбли, важны неравновесные функции распределения. Их приходится получать в отдельности для каждой физической (да и не только физической – химической, биологической, экономической и т.д.) системы. Это сложные современные задачи, имеющие большое экономическое значение.

Кроме неравновесных функций распределения изучаются квантовые функции распределения. Наиболее известные квантовые распределения – это функции распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. С их помощью строятся современные теории электропроводности, лазерной физики и многих других теорий.