Статистическое описание ансамбля частиц.

В основе статистического описания лежат представления о вероятностях (если события дискретные) и функций распределения вероятностей или плотностях вероятностей (для событий, меняющихся непрерывно).

С вероятностями мы встречаемся постоянно, если рассматриваем случайные процессы. Эти понятия интуитивны. Ясно, что падение листа с дерева осенью – случайный процесс. Напротив, осенний листопад – закономерное, неслучайное явление. Чаще всего граница между этими категориями событий определяется экспериментально. Можно сказать, что случайный процесс – это явление, причины которого нам (пока) неизвестны.

Стандартные примеры случайных процессов – падение монеты той или иной стороной, или падение кубика вверх одной из цифр от 1 до 6. Эти примеры позволяют указать вероятности тех или иных событий.

Рассмотрим падение монеты. То, что она упадет – достоверное событие, вероятность которого равна единице. А тот факт, что она упадет предсказанной стороной вверх, происходит с вероятностью 0,5. Это проверяется экспериментально. Так, если бросить монету 1000 раз, то появление каждой из сторон произойдет примерно в 500 случаях. Отклонение от числа 500 случаев возможно на незначительную величину, которая называется дисперсией случайной величины или её флуктуацией. Если стремить число бросков «к бесконечности», вероятность появления заданной стороны станет равным 0,5.

Аналогичным образом бросание кубика большое число раз даст вероятность появления любой грани равной . Разумеется, для этого грани кубика должны быть одинаковыми. Строго говоря, если цифры обозначены углублениями, то грань 1 немного тяжелее грани 6 и поэтому появление цифры 1 немного больше .

Если вспомнить о мешке с черными и белыми шарами, то для предсказания того, какого цвета будет вынутый шар, надо учесть, сколько таких шаров в мешке. Поскольку вероятность того, что какой-либо шар вынут, равна 1, то можно записать равенство

.

Здесь индекс 1 соответствует вероятности появления белого шара, индекс 2 – появления черного (или наоборот). Кстати, приведенное равенство называется условием нормировки вероятностей. Но по аналогии с кубиком, вероятность достать белый шар равна

,

где – число одинаковых белых шаров, – число черных шаров.

Рассмотрим случайную величину, изменяющуюся непрерывно. Обозначим её как . Будем считать, что Х может изменяться от А до В. Тогда вероятность найти Х в диапазоне будет пропорциональна (если охватывается весь диапазон , то, очевидно, вероятность должна равняться 1; это опять условие нормировки вероятностей),

.

Чтобы от пропорции перейти к равенству, надо вставить в правую часть скалярную функцию от аргумента Х:

.

Функция называется функцией распределения или плотностью вероятности. Для нахождения её явного вида приходится использовать либо экспериментальные данные (феноменологический подход), либо строить некоторое кинетическое уравнение, решением которого служит . В статистической физике кинетическое уравнение получают, исходя из основных законов механики (квантовой статистической механики).

Функция распределения нормируется условием

.

Такая нормировка называется нормировкой на единицу. Если в системе имеется одинаковых объектов, справа вместо 1 иногда ставят число . Тогда говорят, что функция распределения нормирована на «число частиц».

Средние статистические величины от переменной Х вычисляются следующим образом.

Вначале записывают тождество , где – та физическая величина, которую надо сопоставлять с экспериментом, или функциональные зависимости которой от разных параметров надо исследовать. Тождество интегрируют с функцией распределения (оно остается тождеством):

.

Интегрирование проводится по всем допустимым значениям Х.

Затем предполагается, что в первом интеграле стоит не сам оператор , а его среднее статистическое значение , которое является независящей от Х константой. Константу вынести из под интеграла,

.

Поскольку функция распределения предполагается нормированной на единицу, стоящий слева интеграл равен 1 и мы получает окончательную формулу для расчета среднего

.