Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия твердого тела.

Вернемся к векторной форме уравнения моментов. Из него видно, что момент импульса тела остается постоянным относительно выбранной неподвижной точки, если момент внешних сил относительно этой же точки равен нулю. Данная фраза представляет собой формулировку закона сохранения момента импульса. В математической записи этот закон формулируется так:

. .
Не следует смешивать закон сохранения момента импульса с законом сохранения импульса. В отличие от закона сохранения импульса закон сохранения момента импульса не требует обращения в нуль результирующей внешних сил (а «только» обращения в нуль результирующего момента внешних сил; часто оказывается, что последнее условие удовлетворить легче).

Итак, теперь мы знаем ТРИ закона сохранения в механике: закон сохранения импульса, закон сохранения полной механической энергии и закон сохранения момента импульса.

Движущаяся материальная точка или система материальных точек имеют кинетическую энергию. А твердое тело? Положительный ответ на вопрос очевиден, но по каким формулам находить кинетическую энергию вращения?

Рассмотрим материальную точку , которая движется по окружности радиуса с постоянной по модулю скоростью . С точки зрения динамики материальной точки кинетическая энергия в этом случае равна

.

Учтем, однако, что линейная скорость связана с угловой скоростью соотношением . Поэтому кинетическую энергию можно записать и в виде

.

Здесь – момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения, а – угловая скорость её вращения относительно той же оси. Этот результат можно обобщить на случай любого твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс:

.

А если твердое тело и вращается вокруг оси, проходящей через центр масс, и движется прямолинейно со скоростью вместе с этой осью? Тогда надо учитывать кинетическую энергию и вращательного движения тела, и кинетическую энергию поступательного движения центра масс:

.