Затухающий осциллятор. Вынужденные колебания.

Реальные механические системы всегда обладают хотя бы малым трением. Простейший случай – жидкое или вязкое трение. Это трение, величина которого пропорциональна скорости движения системы (и направлена, естественно, против направления движения). Если движение происходит вдоль оси Х , то уравнение движения может быть записано (для грузика на пружинке) в виде

,

где – коэффициент вязкого трения.

Это уравнение движения можно преобразовать к виду

.

Здесь – коэффициент затухания, – по-прежнему собственная частота осциллятора (который уже нельзя назвать гармоническим; это затухающий осциллятор с вязким трением).

Математики умеют решать такие дифференциальные уравнения. Было показано, что решением является функция

(**).

В последней формуле используются обозначения: – начальная амплитуда, частота слабозатухающих колебаний , . Кроме того, часто используют другие параметры, характеризующие затухание: логарифмический декремент затухания , время релаксации системы , добротность системы , где в числителе стоит запасенная системой энергия, а в знаменателе – потери энергии за период Т.

В случае сильного затухания решение имеет апериодический вид.

Часто встречаются случаи, когда кроме сил трения на осциллятор действует внешняя сила. Тогда уравнение движения приводится к виду

,

стоящее справа выражение часто называют приведенной силой, силу называют вынуждающей силой. Для произвольной вынуждающей силы найти решение уравнения не удается. Обычно рассматривают гармоническую вынуждающую силу типа . Тогда решение представляет собой затухающую часть типа (**), которая для больших времен стремится к нулю, и установившиеся (вынужденные) колебания

.

Амплитуда вынужденных колебаний

,

а фаза вынужденных колебаний

.

Заметим, что при приближении собственной частоты к частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний возрастает. Это явление известно как резонанс. Если затухание велико, то резонансное увеличение не велико. Такой резонанс называют «тупым». При малых затуханиях амплитуда «острого» резонанса может возрасти весьма значительно. Если же система идеальна, и трение в ней отсутствует, то амплитуда вынужденных колебаний увеличивается неограниченно.

Заметим также, что при частоте вынуждающей силы

достигается максимальное значение амплитуды вынуждающей силы, равное

.