Гармонический осциллятор.

Рассмотрим простую физическую систему – материальную точку, способную без трения колебаться на горизонтальной поверхности под действием силы Гука (см. рис. 2).

Если смещение груза невелико (много меньше, чем длина недеформированной пружины), а жесткость пружины равна k, то но груз действует единственная сила, сила Гука. Тогда уравнение движения груза (Второй закон Ньютона) имеет вид

Перенеся слагаемые в левую часть равенства, и разделив на массу материальной точки m (массой пружины пренебрегаем по сравнению с m), получим уравнение движения

(*),

где

и

есть циклическая частота и период колебаний.

Тогда, взяв функцию

и продифференцировав её по времени, убеждаемся, что скорость движения груза равна

,

а после повторного дифференцирования ускорение

,

то есть X(t) действительно является решением уравнения груза на пружинке.

Рассмотренная система, вообще любая система, механическая, электрическая или иная, обладающая уравнением движения (*), называется гармоническим осциллятором. Функция типа X(t) носит название закона движения гармонического осциллятора; величины называются амплитудой, циклической или собственной частотой, начальной фазой гармонического осциллятора. Частота определяется параметрами осциллятора, амплитуда и начальная фаза задаются начальными условиями.

Закон движения X(t) представляет собой свободные колебания. Такие колебания совершают незатухающие маятники (математический или физический), ток и напряжения в идеальном колебательном контуре и некоторые другие системы.

Гармонические колебания могут складываться в одном, или в различных направлениях. Результатом сложения тоже оказывается гармоническое колебание, например,

.

Это принцип суперпозиции (наложения) колебаний.

Математики разработали теорию рядов такого рода, которые называются рядами Фурье. Имеется также ряд обобщений типа интегралов Фурье (частоты могут меняться непрерывным образом) и даже интегралы Лапласа, работающие с комплексными частотами.