Плоское криволинейное движение.

До сих пор мы молчаливо предполагали, что во время движения орты постоянны и дифференцировать их по времени нет необходимости. Это предположение справедливо не всегда. Например. Оно не справедливо, если происходит криволинейное движение. Простейший случай такого движения – движение по окружности или, в более общем случае – по плоской кривой. Кривая называется плоской, если все её точки лежат в одной плоскости (см. рис. 1). Как легко заметить, орты координат при этом изменяют своё направление, то есть зависят от времени.

В случае вращения по окружности с постоянной по модулю скоростью известно, что на материальную точку действует центростремительная сила

,

где – масса материальной точки, – модуль её скорости, – радиус окружности, – радиус-вектор, проведенный из центра окружности в ту точку, где в данный момент находится материальная точка. Знак минус указывает, что действующая на материальную точку сила направлена к центру окружности.

При движении по плоской кривой формулу для центростремительной силы можно обобщить. Для этого надо сделать несколько шагов.

Выделим на плоской кривой L произвольные точки A и B. Построим окружности, касающиеся этих точек; стрелки указывают радиусы и , проведенные из центров окружностей в точки касания. Соответствующие радиусы (не векторы) называются радиусами кривизны в точках и . Обратная величина, например, , называется кривизной кривой L в точке . Кривая должно быть плавной. В точке излома кривизна не определена. Для прямой кривизна стремится к нулю (радиус кривизны бесконечен). В точке кривизна считается положительной, в точке – отрицательной.

Если точка движется со скоростями и , то на неё действуют центростремительные силы , определяемые указанной формулой. Это, в частности, означает, что они движутся с центростремительным ускорением

или .

Но это не полное ускорение материальной точки. Для того, чтобы найти полное ускорение учтем, что при движении по плоской кривой скорость имеет вид

,

где – вектор, касательный к рассматриваемой точке (например, к точке В , см. рис. 1), причем он зависит от времени, - модуль скорости в этой точке.

Чтобы найти ускорение надо продифференцировать скорость:

.

Первое слагаемое называется тангенциальным (касательным) ускорением,

,

и учитывает поворот касательного орта (для движения по прямой тангенциальное ускорение равно нулю), второе слагаемое – центростремительное ускорение,

,

которое учитывает изменение модуля скорости.

Таким образом, полное ускорение равно

,

а так как радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, то модуль полного ускорения равен .