Минимизация ДНФ

Определение. Элементарная конъюнкция u называется импликантой булевой функции F , если .

Например, элементарная конъюнкция является импликантой функции .

Определение. Если никакая собственная часть импликанты u (т.е. ) булевой функции F не является импликантой F, то u называется простойимпликантой (т.е. если удаление из u хотя бы одного литерала нарушает условие , то u – простаяимпликанта).

Например, – простая импликанта булевой функции , а импликанта не является простой для этой функции , так как (собственная часть импликанты ) является импликантой функции F .

Определение. Дизъюнкция всех простых импликант булевой функции F называется сокращенной ДНФ (СкДНФ)функции F .

Например, – СкДНФ булевой функции . Отметим, что СкДНФ является единственной для конкретной булевой функции F .

Определение.ДНФ булевой функции F , содер­жащая наименьшее число слагаемых среди всех ДНФ, реализующих функцию F , называется кратчайшей ДНФ (КрДНФ).

Например, – КрДНФ этой же булевой функции F .

Вообще говоря, для заданной булевой функции F существу­ет несколько различных по числу вхождений литералов КрДНФ.

Определение.ДНФ булевой функции F , содер­жавшая наименьшее число вхождений литералов среди всех ДНФ, ре­ализующих функцию F , называется минимальной ДНФ (МДНФ).

Отметим, что для заданной булевой функции F существует, вообще говоря, несколько МДНФ, отличающихся друг от друга чис­лом слагаемых.

Более того, МДНФ не всегда совпадает с КрДНФ булевой функции n переменных F . Хотя для начальных значе­ний n ( n = 2 или n = 3 ) МДНФ всегда совпадает с КрДНФ). Например, является КрДНФ и МДНФ рассматриваемой функции F.

Задача минимизации булевой функции в классе ДНФ формулируется следующим образом: тре­буется для булевой функции n переменных F построить ДНФ с минимально возможным числом слагаемых (КрДНФ) или с мини­мально возможным числом вхождений литералов (МДНФ).

Причем, если раньше (при синтезе контактных схем) основное внимание уделялось построению МДНФ, то в настоящее время (при синтезе логических схем на элементах И,ИЛИ,НЕ, И-НЕ и др.) требуется построение КрДНФ.

Также отметим, что задача минимизации булевых функций n переменных F в классе ДНФ является чрезвычайно громоз­дкой и ее трудоемкость с ростом n возрастает по экспонен­циальному закону.

К настоящему времени разработано около 200 различных ме­тодов минимизации булевых функций в классе ДНФ, наиболее из­вестными среди которых являются метод Квайна - Мак-класки, метод Блейк-Порецкого, метод Нельсона, метод неопределенных коэффициентов и др.

Пример. Составить по таблице истинности СДНФ булевой функции и минимизировать ее, применяя законы склеивания.