Задание последовательности значений

Под последовательностью будем понимать набор чисел x(k), где k - порядковый номер числа в последовательности, количество чисел равно k_m. Эту последовательность в среде Matlab можно представить в виде вектора-столбца размерности k_m,1.

Задание последовательности в среде Matlab возможно двумя путями:

1) Путем задания всей последовательности в виде вектора

Например, последовательность {1, 2, 3, 4} задается так:

x=[1;2;3;4]

x =

2) Путем задания правила (формулы) расчета элементов последовательности.

Правило расчета элементов x(k) должно быть представлено в виде функции f(k), т.е. x(k) = f(k), при k =1:k_m.

Пусть, например, задана последовательность {1, 4, 9, 16}. Правило расчета для нее: x(k) = f(k) = k², где k =1:k_m, k_m = 4.

В среде Matlab правило задается либо для элементов вектора в цикле, либо для всего вектора целиком.

Пример задания правила для элементов вектора в цикле:

km=4; % задается количество элементов последовательности

x=zeros(km,1); % задается вектор-столбец нужной размерности, заполненный нулями

for k=1:km % цикл задания элементов вектора

x(k,1)=k^2; % правило расчета элементов

end

Пример задания правила вектора целиком:

km=4; % задается количество элементов последовательности

x=zeros(km,1); % задается вектор-столбец нужной размерности, заполненный нулями

k=1:km; % задается последовательность перебора индексов вектора

x(:,1)=k.^2; % правило расчета элементов

Отметим две особенности для последнего случая:

а) должна быть задана последовательность по перебору индексов в виде вектора k =1:k_m

б) при записи правила расчета необходимо учитывать, что в записях операндов умножения (*), деления (/) и возведения в степень (^) необходимо ставить точку: (.*), (./) и (.^). В этом случае соответствующие операции будут производиться над элементами векторов, а не над векторами в целом (как в примере - x(:,1)=k.^2).

Одной из часто используемых последовательностей является линейная последовательность, когда правило расчета записывается в виде линейной функции: f(k) = a∙k + b, где a – шаг последовательности, b – начальное значение последовательности.

Для определения параметров a и b функции f(k) нужно взять два любых элементов последовательности: f(k₁) = a∙ k₁ + b , f(k₂) = a∙ k₂ + b и записав эти два уравнения в систему, разрешить ее относительно параметров a и b.

Рассмотрим, например, линейную последовательность {-1, -0.5, 0, 0.5, 1}. Так для первого элемента с номером k =1: f(1) = a∙1 + b = -1 , для второго элемента k =2: f(2) = a∙2 + b = -0.5.

Из системы уравнений:

a + b = -1

2a + b = -0.5

находим: a = 0.5, b = -1.5, отсюда f(k) = 0.5 k - 1.5

Линейная последовательность часто определяется в виде: x = x_min : ∆x : x_max, где x_min – левая и x_max – правая границы последовательности, а ∆x – шаг вариации. В этом случае, для правила расчета строится по следующему алгоритму:

1) Определяется количество точек в последовательности: k_m = (x_max – x_min) / | ∆x | + 1. Если получается не целое число, то оно округляется до ближайшего целого;

2) Берется левая граница последовательности: k =1: f(1) = a∙1 + b = x_min

и правая граница последовательности: k = k_m: f(k_m) = a∙ k_m + b = x_max

3) Из системы:

a + b = x_min

k_m a + b = x_max

находим: a = (x_min – x_max) / (1– k_m), b = x_min – a.

Так для примера последовательности -1 : -0.5 : 1, получаем:

k_m = (x_max – x_min) / | ∆x | + 1 = (1 –(-1)) /0.5 + 1 = 5.

a = (x_min – x_max) / (1– k_m) = (-1 –1) / (1–5) = 0.5, b = x_min – a = -1 –0.5 = - 1.5.

В среде Matlab, линейную последовательность также можно задать с помощью функции linspace(), на вход которой подаются параметры x_min, x_max, k_m, например:

x=linspace(-1,1,5)

x =

-1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000