Колебания

В развитом товарном хозяйстве различают 4 функции денег:

1. Функция меры стоимости – состоит в том, что с помощью денег выражается стоимость товара и образуется его цена. Денежные единицы (рубли, доллары, евро) служат единым и точным измерителем ценностей всех товаров.

2. Функция средства обращения – проявляется когда деньги выступают как посредник в обмене товаров. В отличии от прямого обмена, такой обмен предполагает 2 сделки:

– продажу товаров на деньги (Т-Д)

– покупку на эти деньги другого товара (Д-Т)

3. Функция средства платежа – близка к функции средства обращения, т.к. она тоже связана с обменом товаров, но здесь деньги используются для разного рода выплат, например для выплаты долга )по товарам проданным в кредит), выплаты заработной платы, выплаты налогов государству.

4. Функция средства накопления – она проявляется, когда деньги сберегаются у предприятий, частных лиц, казне. Обладают наивысшей ликвидностью (способностью товара быть превращенным в деньги без потерь) Деньги в этой функции служат удобной формой хранения богатств. В этой функции деньги могут выступать в своем полноценном виде. Например: гос-во создавая национальные резервные фонды (золотой запас) создает их в виде слитков золота, золотых монет. Сберегают золото и частные лица. Такой процесс индивидуального накопления называется тезаврацией.

5. . Мировые деньги – Развитие международный политический и экономических связей (внешнеторговых, международных кредитный отношений и т.д.) обуславливает функционирование денег на мировом рынке. Мировые деньги выступают в виде слитков благородных металлов, а в условиях развитого капитализма в виде слитков золота, т.к. не полноценные деньги, имеющие обращение внутри отдельной страны, на мировом рынке теряют силу. Мировые деньги могут выполнять функции: международного платежного средства, международного покупательного средства, всеобщего воплощения общественного богатства.

Из функций денег как средство обращения платежа следует вывод: деньги нужны не сами по себе, а для обеспечения обмена товарами между людьми. А это значит что в экономике необходимо соблюдать приблизительное равенство между товарной и денежной массой В этом заключается смысл закона денежного обращения:

Количество денег в обращении должно соответствовать сумме цен всех реализуемых товаров.

M*V = P*Q уравнение Фишера.

M – масса денег находящихся в обращении

V – скорость обращения денег (среднее число оборотов в год)

P – средняя цена единицы продукции

Q – общий объем произведенной продукции

Избыток денег вызывает инфляцию в стране.

Колебания

Свободные затухающие колебания. Декремент и логарифмический декремент колебаний.

Вынужденные колебания. Установившиеся вынужденные колебания. Механический резонанс.

Рассмотрим движение тела в вязкой среде под действием квазиупругой силы вблизи положения равновесия (например, поршня на невесомой пружине). Будем считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости тела: , где r – коэффициент сопротивления (Н×с/м). Уравнение движения поршня в проекции на ось X можно записать в виде: или

,

где введены обозначения: , . Это уравнение называется уравнением свободных затухающих колебаний.Если r = 0, то получаем уравнение свободных незатухающих колебаний: с периодом .

Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

.

Для затухающих колебаний механическая энергия не остаётся постоянной:

, а убывает.

Решение уравнения свободных затухающих колебаний ищем в виде: . Подставим в уравнение и, после сокращений, получаем характеристическое уравнение:

.

Дискриминант квадратного уравнения: ,

значения корней: .

Тогда решение уравнения должно иметь вид:

,

где С₁ и С₂ – постоянные коэффициенты.

Воспользуемся формулой Эйлера: , где .

При решение не описывает колебания.

Колебания будут наблюдаться, если . Введем обозначение: .

Тогда и решение уравнения примет вид:

- оно описывает свободные колебания циклической частоты w, затухающие с течением времени. Циклическая частота затухающих колебаний: , период: .

Энергию колебаний в момент времени t можно определить как: .

Убыль энергии за один период: .

Рассмотрим отношение запасённой энергии к убыли энергии за один период колебаний: .

При малом логарифмическом декременте затухания воспользуемся разложением:

. Учитывая, что , и при малых b, можно считать , тогда получаем:

.

Для затухающих свободных колебаний добротность характеризует скорость убывания энергии при малых затуханиях.

Фазовый портрет свободных затухающих колебаний.

Пусть задан закон колебательного движения: .

Тогда скорость при колебаниях:

.

Импульс: .

Так как и , то

.

Фазовая траектория представляет собой сужающуюся к нулевой точке спираль. Вращение происходит по часовой стрелке (т.к. с течением времени значения x и p_x стремятся к нулю).

Вынужденные колебания.

Рассмотрим движение тела в вязкой среде вблизи положения равновесия под действием квазиупругой силы и некоторой периодической силы .

Второй закон Ньютона: перепишем в виде:

,

где введены обозначения: , , . Это уравнение называется уравнением вынужденных колебаний.

Решением этого обыкновенного дифференциального уравнения является сумма решений однородного и частного решения неоднородного уравнений.

Однородное уравнение:

является уравнением свободных затухающих колебаний.

Частное решение неоднородного уравнения

будем искать в виде: . Изобразим это уравнение на амплитудно-векторной диаграмме, на которой величине соответствует вектор , такой что .

Так как величина , то величине соответствует вектор , повернутый относительно вектора на угол , длина которого .

Величине соответствует вектор , повернутый на угол p относительно вектора и .

В правой части уравнения величине соответствует вектор .

Уравнению будет соответствовать векторная сумма:

.

Так как длины векторов не меняются, то это равенство возможно только для случая, когда: . Таким образом, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы.

Из диаграммы следует, что при этом должно выполняться равенство: , поэтому получаем:

.

Откуда находим амплитуду вынужденных колебаний:

.

Обозначим - разность фаз вынуждающей силы и вынужденных колебаний.

Из диаграммы следует, что , т.е. .

Таким образом, при получаем, что q >0 – вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, а при - вынужденные колебания опережают по фазе вынуждающую силу.

Следствие. Под действием периодической силы тело совершает два вида колебаний - свободные затухающие колебания с собственной частотой w, и вынужденные – с частотой вынуждающей силы W.Затухающие колебания с течением времени прекратятся и останутся только вынужденные колебания – их называют установившимися.