Обслуживания

Рассмотрим одноканальную систему массового обслу­живания, в которую поступают заявки, образующие ординар­ный поток однородных событий с ограниченным по­следействием и функциями распределения .Длительности обслуживания являются случайными величинами , не зависящими от «предыстории» процесса обслуживания, с законами распределения . Заявки в системе обслуживаются в порядке очереди. Если поступившая заявка застает канал занятым, то она ожидает освобождения канала.

В результате моделирования необходимо найти распределение числа требований в СМО. Обозначим: - число требований в СМО в момент времени , при - длительность времени с момента до момента окончания обслуживания заявки, находящейся на обслуживании в момент , = 0 при =0; - длительность времени с момента до момента поступления следующей заявки. Состояние СМО в момент времени есть вектор ( , , ), который полностью определяет дальнейшее развитие СМО и в силу этого является марковским случайным процессом.

Моделирование идет по моментам совершения событий. Обозначим моменты совершения событий через События могут быть двух типов: события окончания обслуживания заявки, события поступления новой заявки. Пусть в начальный момент = 0 , = 0, = = . Первое событие совершается в момент = и в этот момент состояние СМО есть ( ). Сдвиг модельного времени осуществляется на величину = . Тогда в интервале (0, ) = 0. Следующее событие совершается в момент + , сдвиг модельного времени осуществляется на величину и в интервале ( , + ( ) имеем равенство = 1.

Рассмотрим переход от первого события ко второму событию, т.е. от состояния ( ) к следующему событию. Имеем

( ) ( ) + ( )

В силу этого в интервале ( + , + ) при = 1 =0.

Переход от состояния ( к следующему состоянию осуществляется аналогично переходу от состояния

( , = 0, = ).

Рассмотрим переход от состояния ( ) к следующему состоянию. Сдвиг модельного времени осуществляется на величину ) и в интервале ( + , + + )) имеем равенство = 2. Переход имеет вид

( ) ) = ) (1, , -( )) + ) = )(3, - , ).

В силу этого в интервале ( + , + + ) при ) = ) = 1 = 1 и = 3 в интервале ( + , + + + ).

Эту процедуру можно продолжить в виде в виде следующих рекуррентных процедур:

( ) ) ( ),

где при ) = =1 = -1, = , = - , при ) = =1 = +1, = - , = . На интервале ( . Далее имеем

( ) ( ),

где при ) = =1 =0, =0, = - ,

при ) = =1 =2, = - , = .

На интервале ( в этом случае 1. Далее

( ) ( ), =1, = , = .

На интервале ( в этом случае 0.

Если мы хотим получить стационарное распределение числа заявок в СМО, то в силу эргодичности, свойственной рассматриваемой системе обслуживания, модельное время функционирования модели надо сделать достаточно большим. Критерием останова моделирования может служить оценка математического ожидания числа заявок в СМО. Если эта оценка стала колебаться незначительно, то можно останавливать процесс моделирования.

Если мы хотим получить нестационарное распределение числа заявок в СМО в момент времени , то в этот момент модельного времени надо процесс моделирования останавливать и производить новую реализацию процесса моделирования при тех же начальных условиях, но с другими независимыми реализациями участвующих в этом процессе случайных величин. Новые реализации процесса моделирования (прогоны модели) надо производить до тех пор, пока колебания оценки среднего числа заявок в СМО в момент времени станут незначительными.

Рассмотрим теперь получение имитационным моделированием таких важных характеристик для информационных систем как время отклика и время ожидания. Так как время отклика является суммой времени ожидания и времени обслуживания, которое, как правило, известно, то необходимо определить характеристики времени ожидания. Обозначим через величину и через - длительность ожидания -ой заявки. Очевидно, что - 0. Если бы -ая заявка поступила в СМО сразу после -1 –ой, то ей пришлось бы ожидать + единиц времени. Но она поступит через время . Тогда ее время ожидания уменьшится на величину , т.е. имеем равенство = + . Но, если будет достаточно большим, то может стать отрицательной величиной, что не может быть, в этом случае = 0. Следовательно, выполняется рекуррентное соотношение

= + ,0). Это соотношение и надо положить в основу моделирования для получения характеристик времени ожидания, которое близко к моделированию процесса изменения числа требований в СМО.

Если мы хотим получить стационарное распределение времени ожидания в СМО, то в силу эргодичности, свойственной рассматриваемой системе обслуживания, модельное время функционирования модели надо сделать достаточно большим. Критерием останова моделирования может служить оценка математического ожидания времени ожидания в СМО по нескольким сотням последних замеров времени ожидания. Если эта оценка стала колебаться незначительно, то можно останавливать процесс моделирования.

Если мы хотим получить нестационарное распределение времени ожидания в СМО в момент времени , то надо в этот момент процесс моделирования останавливать, подсчитывать на этот момент модельного времени, и производить новую реализацию процесса моделирования при тех же начальных условиях, но с другими независимыми реализациями участвующих в этом процессе случайных величин. Новые реализации процесса моделирования (прогоны модели) надо производить до тех пор, пока колебания оценки среднего времени ожидания в СМО в момент времени станут незначительными.