Введение марковских процессов при моделировании систем массовог обслуживания при произвольных распределениях основных случайных величин.

Пусть СМО состоит из n каналов, способных одновременно обслуживать заявки. В любой момент времени канал находится в одном из двух состояний —свободен или занят. Пусть в некоторый момент времени в СМО поступает заявка. Если в этот момент времени имеются свободные каналы, то заявка принимается к обслужи­ванию. В противном случае, т. е. когда все каналы заняты, за­явка остается в системе в течение некоторого времени ( — время пребывания заявки в системе) как претендент на обслу­живание. За интервал времени заявка должна быть принята к обслуживанию, в противном случае она считается потерянной (получает отказ).

В зависимости от величины системы массового обслужи­вания делятся на три существенно различных класса, имеющих свою специфику как в строении процесса обслуживания, так и в математической формулировке относящихся к ним задач.

Если = 0, то поступившая в данный момент времени за­явка либо немедленно принимается к обслуживанию, если имеются свободные каналы, либо получает отказ, если все каналы заняты. Такие системы массового обслуживания называются системами с отказами. Для систем с отказами показателями качества обслуживания обычно считаются вероятность от­каза, среднее число отказов за данный интервал времени и т. д.

Марковский процесс вводится непрерывными компонентами , означающими время с момента до момента окончания обслуживания требования на данном канале. Если все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает начала обслуживания время не большее .

В другом крайнем случае, когда , поступающие в систему заявки отказов не получают, а ожидают (если все каналы заняты) в очереди до того момента, когда они будут приняты к обслуживанию. Такого рода системы массового обслуживания называются системами с ожиданием. Показателями качества обслуживания в этом случае могут быть среднее время ожида­нии заявки, средняя длина очереди и т. д.

Марковский процесс вводится непрерывными компонентами , означающими время с момента до момента окончания обслуживания требования на данном канале. Если все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает начала обслуживания.

Наконец, если , заявка, заставшая все каналы занятыми в момент поступления, ожидает в течение в очереди, а по истечении этого времени получает отказ. Такие системы массового обслуживания называются системами с ограничен­ным ожиданием. Качество обслуживания в этом случае оценивается вероятностными характеристиками как количества отказов, так и времени ожидания, а иногда более сложными показателями, учитывающими обе эти стороны качества обслу­живания. Введение Марковского процесса в этом случае описано выше.

Помимо параметра для характеристики свойств обслуживающей системы необходимо задать также — время обслужи­вания заявки. Заявка, принятая к обслуживанию, занимает один из каналов на время ; по истечении этого времени канал освобождается и может приступить к обслуживанию новой заявки.

Обычно величины и считаются случайными величинами с заданными законами (или совместным законом) распределе­ния. Иногда предполагают, что одна из них или обе фиксиро­ваны.

Перейдем к рассмотрению распространенных вариантов порядка занятия канала заявками, поступающими на обслужива­ние. Если в системе массового обслуживания имеется очередь заявок, то освобождающиеся каналы занимаются немедленно в порядке их освобождения. В случае, когда очереди заявок нет, и имеются свободные каналы, появившаяся заявка может зани­мать один из свободных каналов в соответствии со специальными правилами. Наиболее часто на практике используются следующие правила.

1. Каналы занимаются в порядке их номеров. Канал с боль­шим номером не может быть привлечен к обслуживанию заявки, если имеется свободный канал с меньшим номером.

2. Каналы занимаются в порядке очереди. Освободившийся канал поступает в очередь и не начинает обслуживания заявок до загрузки всех ранее освободившихся каналов.

3.Каналы занимаются в случайном порядке в соответствии с заданными вероятностями. Если в момент поступления очередей заявки имеется свободных каналов, то в простейшем слу­чае вероятность занять некоторый определенный канал может быть принята равной . В более сложных случаях ве­роятности занять канал считаются зависящими от номеров каналов, моментов их освобождения и других параметров.

Аналогичные предположения могут быть сделаны и относительно порядка принятия заявок к обслуживанию в том случае, когда в системе образуется очередь заявок.

1. Заявки принимаются к обслуживанию в порядке очереди. Освободившийся канал приступает к обслуживанию той заявки, которая ранее других поступила в систему.

2. Заявки принимаются к обслуживанию по минимальному времени получения отказа. Освободившаяся линия приступает к обслуживанию той заявки, которая в кратчайшее время может получить отказ.

3. Заявки принимаются к обслуживанию в случайном порядке в соответствии с заданными вероятностями. Если в момент освобождения канала имеется m заявок в очереди, то в простейшем случае вероятность выбрать для обслуживания некоторую определенную заявку может быть принята равной . В более сложных случаях вероятности считаются зависящими от времени пребывания заявки в системе, времени, остающегося до получения отказа, и других параметров.

Перечисленными предположениями, естественно, охватываются не все случаи, возникающие на практике, а лишь наиболее распространенные.

Реальный процесс функционирования системы массового обслуживания для удобства исследования следует представлять в виде последовательности отдельных актов (фаз) обслуживания, выполняемых различными устройствами. При этом, как правило, соблюдается такой порядок, при котором следующий канал может приступить к обслуживанию заявки лишь тогда, когда работа предыдущего с данной заявкой полностью закончена. В частном случае обслуживание может быть однофазным.

Весьма распространенным типом обслуживания является обслуживание с преимуществом (с приоритетом). Каждой за­явке, поступающей в систему, приписывается некоторый коэф­фициент преимущества (приоритет). При этом могут быть раз­личные варианты дисциплины очереди. При одном из вариантов в момент освобождения канала на обслуживание поступает за­явка из очереди, у которой коэффициент преимущества наи­больший.

При другом варианте дисциплины очереди с преимуществами возможно прекращение обслуживания заявки, занимаю­щей канал, если в систему поступила заявка с бóльшим значением коэффициента преимущества, чем у обслуживаемой заявки.

Для системы с отказами наиболее широко используемым показателем качества обслуживания является средняя доля отказов в обслуживании за промежуток времени , определяемая следующим образом.

Количество заявок, поступивших на обслуживание за этот интервал времени для вы­бранной наудачу реализации, будет случайной величиной . Пусть — среднее количество заявок, поступаю­щих на обслуживание в течение интервала времени . Количество заявок , получивших отказ в течение того же интервала времени, также будет случайной величиной. Ее математическое ожидание оценивается средним количеством отказов за интервал времени . Тогда средняя доля отказов определяется как

Кроме средней доли отказов используется вероятность того, что за время не будет ни одного отказа. В стационарном режиме , где — интенсивность потока заявок., — интенсивность потока отказов обслуживании. R имеет также смысл вероят­ности отказа для заявки, поступившей в систему в произвольный момент времени.

Для систем с ожиданием показателями качества обслужива­ния могут быть среднее значение времени ожидания или среднее значение длины очереди (количество заявок, ожидающих обслуживания). Иногда используются и другие параметры закона распределения времени ожидания или длины очереди.

Для смешанных систем показателями качества обслуживания служат как те, так и другие величины.

Сущность метода имитационного моделирования CМО состоит в следую­щем. Строятся алгоритмы, при помощи которых можно вырабатывать случайные реализации заданных потоков однородных событий, а также моделировать процессы обслуживания заявок. Эти алгоритмы реализуются на ЭВМ и используются для многократного воспроизведения случайного процесса обслуживания при фиксированных условиях задачи. Получаемая при этом информация о состоянии процесса подвергается статистической обработке для оценки величин, являющихся показателями качества обслуживания.