Входящие потоки

При исследовании многих сложных систем возникает необходимость в решении задач, относящихся к массовому обслуживанию. Эти задачи встречаются наиболее часто в организации производства, телекоммуникациях, планировании, автоматическом управлении сложными системами и т. д.

Характерной особенностью таких задач является наличие обслуживающей системы, к которой в случайные моменты времени поступают заявки. Обслуживающая система имеет каналы, выполняющие совокупность операций, подразумеваемых под словом «обслуживание».

В качестве примера системы массового обслуживания может рассматриваться автозаправочная станция. Заявки на обслуживание возникают тогда, когда на станцию прибывают автомобили для пополнения запасов горючего. Отдельными каналами, самостоятельно обеспечивающими полный цикл операций, связанных с обслуживанием заявок, являются бензоколонки.

Заявки образуют поток — последовательность заявок со специальным чередованием моментов их появления во времени.

Если с точки зрения обслуживания все заявки данного потока оказываются равноправными, то играет роль лишь сам факт наступления в данный момент времени одного события, состоящего в появлении заявки. Такие потоки, называемые ординарными пото­ками однородных событий, в настоящее время обстоятельно изу­чены и имеют удобное математическое описание. Каждое событие такого потока характеризуется моментом времени , в который оно наступает. Если поток однородных событий является детерминированным, то необходимо задать последовательность , одним из возможных способов: перечислить их, указать соотношение, описывающее как функцию индекса j, или, наконец, привести рекуррентные зависимости, позволяющие определить текущее значение , по предыдущим.

Однако более существенное значение имеют случайные потоки однородных событий. Чтобы описать случайный поток од­нородных событий как случайный процесс, достаточно задать закон распределения, характеризующий последовательность случайных величин Обычно бывает удобным вместо величин рассматривать случайные величины являю­щиеся длинами интервалов времени между последовательными моментами ,

Совокупность случайных величин считается заданной, если при каждом определен совместный закон распределения, например, в виде функции распределения

Обычно рассматривают только непрерывные случайные ве­личины , поэтому часто пользуются функцией плотности .

Для решения многих прикладных задач можно ограничиться частными случаями потоков, к которым относятся потоки с ограниченным последействием.

Случайный поток однородных событий называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины являются независимыми.

Для таких потоков .

Функции при являются функциями плотности величин .

Большой теоретический и практический интерес представляют так называемые стационарные потоки, для которых вероятностный режим не зависит от времени, т.е. поток однородных событий называется стацио­нарным, если вероятность появления k событий за промежуток времени не зависит от , а зависит только от t и k. Для стационарных потоков с ограниченным последействием имеет место соотношение

Параметр называется интенсивности потока и имеет смысл среднего числа событий, наступающих за еди­ницу времени.

Для стационарных потоков с ограниченным последействием имеет место формула Пальма, связывающая функции плотности и : . . В неординарных потоках однородных событий заявки поступают группами, необходимо, помимо моментов , задать распределение количества заявок, поступающих в каждый из моментов времени .

Поток однородных событий называется потоком без последействия, если вероятность наступления k событий за промежуток времени не зависит от событий до момента Легко видеть, что поток без последействия является частным случаем потока с ограниченным последействием.

Поток называется простейшим (пуассоновским), если он является стационарным, ординарным и потоком без последействия. Для него функция плотности ве­личины при j > 0 для простейшего потока имеет вид показа­тельного распределения с параметром : , где — интенсивность потока.

функ­цию плотности для первого интервала : .

Представляют интерес потоки Эрланга. Потоком Эрланга порядка m называется ординарный ста­ционарный поток с ограниченным последействием, для которого Плотность (интенсивность) этого потока . Интервалы при j > 1 потока Эрланга по­рядка m представляются в виде суммы m независимых случай­ных величин, имеющих показательное распределение с пара­метром *..