Моделирование дискретных случайных величин

Будем считать, что задана дискретная случайная величина x , представленная рядом распределения.

Для моделирования значений дискретной случайной величины x разделим единичный интервал [0; 1] на n непересекающихся отрезков длиной D_i = p_i (см.рис. 3.1).

Предположим, что в нашем распоряжении имеется совокупность случайных чисел g₁, g₂, . . . g_N , являющихся выборкой равномерно распределенной на интервале [0; 1] случайной величины g .

Выбирая очередное значение g_j и проверяя, в какой из интервалов D_i это значение попадает (см. рис. 3.1), по номеру i интервала разбиения определяется конкретное значение случайной величины x .

D₁ D₂ D₃ D₄ D₅ · · · D_n

0 1

Рис.3.1.

Теорема: Случайная величина x , определенная соотношением ( 4.1 )

x = х_i , если g Î D_i , ( 4.1 )

имеет заданный закон распределения, представленный в виде ряда распределения:

Доказательство. Рассмотрим вероятности:

Р {x = x_i} = P {g Î D_i} = длина D_i = p_i ,

что и требовалось доказать.

Для того, чтобы проверить какому интервалу разбиения D_i принадлежит случайное число g , в памяти ЭВМ подряд располагаются значения х₁, х₂, х₃, . . . х_n и значения р₁, р₁+ р₂, р₁+ р₂+ р₃, . . . 1 .

Формируя число g, его сначала сравнивают с р₁; если g < p₁ , то x = х₁ .

Если это условие не выполняется, то g сравнивается с р₁ + р₂ . При условии, что g < р₁ + р₂ , то x = х₂. Если и это условие не выполняется, то g сравнивают с р₁ + р₂ + р₃ и т.д.

Возникает вопрос, каким образом располагать значения вероятностей в памяти ЭВМ, чтобы количество сравнений было минимальным.

В том случае, когда x = х_i (1 < i < n-1) , количество сравнений, необходимое для определения значения x, равно i . И только когда x = х_n , количество сравнений будет равно n - 1.

Следовательно, среднее количество t сравнений, необходимое для определения значения величины x:

( 4.2 )

Величина t будет минимальной, если расположить значения p_i в порядке убывания соответствующих вероятностей p₁ ³ p₂ ³ p₃ ³ . . . ³ p_n .

Моделирование случайных событий проводится на основе схемы моделирования дискретных случайных величин.

Моделирование отдельного случайного события

В соответствии с доказанной выше теоремой для проведения каждого испытания необходимо сформировать число g и проверить условие : g < p_А. Если это условие выполняется, то наступило событие А, если не выполняется, то наступило событие `А.

Моделирование полной группы случайных событий

События А₁, А₂, . . . А_n составляют полную группу с вероятностями р₁, р₂, . . . , р_n . Введем в рассмотрение дискретную случайную величину x, имеющую смысл номера события полной группы:

В соответствии с доказанной выше теоремой формируются числа g , проверяется в какой из интервалов D_i они попадают. Номер этого интервала определяет индекс события А_i .

Моделирование совместных независимых событий

Пусть заданы совместные независимые события А и В. Известны вероятности наступления событий Р_А и Р_В, соответственно.

Моделирование указанных событий может осуществляться двумя способами:

1. С использованием двух случайных чисел g₁ и g₂ .

С помощью числа g₁ проверяется условие: g₁ < р_А . Если условие выполняется, то считается, что наступило событие А. В противном случае - .

С помощью числа g₂ проверяется условие g₂ < p_В . При выполнении условия наступило событие В, в противном случае .

Недостаток данного способа моделирования заключается в том, что при использовании двух чисел g₁ и g₂ возрастают затраты машинного времени, связанные с обращениями к датчикам .

2. С использованием одного числа g , но предполагающее некоторую предварительную подготовку.

Определяется полная группа событий: и соответствующий ей ряд распределения :

	x
	р	рА×рВ	(1-рА)×рВ	рА×(1-рВ)	(1-рА)×(1-рВ)

Получив ряд распределения, моделирование сводится к ранее рассмотренной схеме моделирования полной группы событий.

Моделирование совместных зависимых событий.

В качестве исходной информации используются вероятности Р_А , Р_В , Р_АВ .

Моделирование также может осуществляться двумя способами:

1. С использованием двух чисел g₁ и g_{2 .}

По числу g₁ проверяется наступление события А. Если А наступило, то по условной вероятности Р (В/А) с помощью числа g₂ определяется, наступило ли событие В - g₂ < р (В/А) .

Если событие А не наступило, то наступление события В проверяется с помощью условной вероятности .

2. Моделирование осуществляется с использованием одного числа g по рассмотренной выше схеме моделирования полной группы событий, вероятности которых вычисляется следующим образом:

	x
	р	рАВ	рА - рАВ	рВ - рАВ	1 -рА - рВ + рАВ