Метод крутого восхождения или наискорейшего спуска по поверхности функции отклика объекта.

Применение данного метода начинается с получения функции отклика объекта в виде исходного уравнения регрессии. Для этого выбирают влияющие факторы и области их изменения ( , DX_j), планируют и реализуют план эксперимента первого или второго порядка.

После нахождения исходного уравнения регрессии определяют шаг и направление поиска экстремума функции отклика объекта. Для этого один из факторов принимают за базовый и для него выбирают шаг движения, который должен быть не больше шага варьирования этого фактора при получении исходного уравнения регрессии (DХ_j) , например, если за базовый фактор взять Х₁, то для базового шага движения (

) должно выполняться соотношение

Шаги движения остальных факторов рассчитывают следующим образом:

; ,

где b_j – линейные эффекты факторов (с учетом их знаков) в исходном уравнении регрессии.

Движение к экстремуму функции отклика объекта начинают из центра плана эксперимента, использованного при получении исходного уравнения регрессии (X_j = , x_j = 0).

При поиске максимума функции отклика объекта (метод крутого восхождения) для определения условий проведения последующего опыта к координатам предыдущего опыта в факторном пространстве прибавляют шаги движения по каждому фактору. При поиске минимума (метод наискорейшего спуска) из координат предыдущего опыта вычитают шаги движения.

Движение к экстремуму прекращают в следующих случаях:

1. Значения функции отклика объекта или хотя бы одного фактора вышли за пределы допустимых значений.

2. Найден экстремум (возможно, локальный) функции отклика объекта.

В первом случае оптимизацию заканчивают. Во втором случае проводят дополнительные эксперименты по получению нового уравнения регрессии в области обнаруженного экстремума и поиску нового экстремума на основе нового уравнения регрессии.

К недостаткам метода крутого восхождения или наискорейшего спуска следует отнести достаточно большое число экспериментов при его реализации.

С конкретными примерами применения метода крутого восхождения или наискорейшего спуска познакомьтесь самостоятельно по литературе [43,46,47].

Метод симплекс-планирования.

Название метода произошло от названия геометрической фигуры "регулярный симплекс", т.е. правильный выпуклый многогранник. Если исследуется влияние на свойство объекта k факторов, то факторное пространство можно задать в виде регулярного симплекса с (k+1) вершиной. Так, например, для двух факторов (k=2) факторное пространство можно задать в виде правильного треугольника (правильный многогранник с 3 вершинами), а для трех факторов (k=3) – в виде тетраэдра (правильный многогранник с 4 вершинами).

Разработаны простые в построении матрицы планов эксперимента с использованием для исследований факторного пространства в виде регулярных симплексов, центр которых совпадает с центром факторного пространства с кодированными значениями факторов (т.е. кординаты центра начального плана эксперимента задаются как x_j = 0) и одна из вершин исходного симплекса лежит на одной из координатных осей этого пространства. Для такого случая построение плана эксперимента начинается с матрицы Е (матрицы исходного симплекс-плана с кодированными значениями факторов, табл. 1.4):

Данные табл. 1.4 показывают, что число опытов в исходном симплекс-плане всегда на единицу больше (N = k+1), чем число исследуемых факторов k.

Таблица 1.4

Исходный симплекс-план эксперимента с кодированными значениями факторов

Номер	Кодированные значения факторов	y
опыта i	х₁	х₂	х₃	…	х_j	…	x_k-1	x_k
	e₁	e₂	e₃	…	e_j	…	e_k-1	e_k
	- 1e₁	e₂	e₃	…	e_j	…	e_k-1	e_k
		-2e₂	e₃	…	e_j	…	e_k-1	e_k
			-3e₃	…	e_j	…	e_k-1	e_k
…				…	e_j	…	e_k-1	e_k
j+1					-je_j	…	e_k-1	e_k
…						…	e_k-1	e_k
k							-(k-1)e_k-1	e_k
k+1								-ke_k

Конкретные цифровые значения e_j рассчитываются по формуле:

После завершения эксперимента по исходному симплекс-плану оценивают полученные значения отклика объекта и определяют номер опыта (h) с наихудшим для исследователя значением y (минимальным или максимальным в зависимости от цели оптимизации). По координатам наихудшего опыта рассчитывают координаты нового дополнительного (k+2) опыта:

; при i ¹ h .

После реализации нового опыта (k+2) вновь анализируют значения y и если значение y(k+2) лучше значения y(h), снова определяют номер наихудшего опыта во всей совокупности проведенных опытов (исключая из рассмотрения опыт h) и рассчитывают координаты следующего дополнительного (k+3) опыта. Если новый опыт не приводит к получению лучшего значения y, то эксперименты заканчивают и за рациональное значение факторов принимают координаты опыта, в котором получено наилучшее значение y.

Достоинства метода симплекс-планирования:

1. Экономное число опытов из-за необязательности их повторения.

2. Возможность увеличения числа исследуемых факторов на любом этапе исследований без значительного увеличения числа опытов.

3. Возможность при оптимизации одного свойства объекта учитывать изменения других свойств.

4. Возможность получения уравнения регрессии по симплекс-планам при k = 4a –1 , где а равно 1,2,3, …n.

Недостатоки метода симплекс-планирования:

1. Позволяет найти только один экстремум функции отклика объекта, и для поиска других экстремумов необходимо повторять реализацию исходного симплекс-плана в другой области факторного пространства.

2. Эффективность поиска экстремумов функции отклика объекта зависит от величины выбранного интервала варьирования факторов.

Для поиска всех возможных экстремумов функции отклика объекта проводят исследование ее поверхности по уравнению регрессии в стандартном каноническом виде [43].