О границах применимости схемы Бернулли

Схема повторных испытаний Бернулли в силу своей простоты и наглядности имеет большое распространение не только в учебном процессе, но и практических приложениях. Однако надо помнить, что в ее основе лежат три основополагающих принципа:

- однородность (одинаковость, повторяемость) испытаний,

- независимость испытаний между собой,

- стационарность испытания (постоянство вероятностей его исходов).

_______________

Пример. На складе находится деталей, причем из них бракованных. Рабочий взял наудачу деталей, какова вероятность того, что у него окажется бракованных деталей.

Решение. Часто студенты, не владеющие полностью материалом курса, начинают рассуждать так: «Неважно, как рабочий взял эти детали, то ли он их получил у кладовщицы все сразу, то ли он сам набирал эти детали в тару по очереди (что верно в силу однородности и симметрии опыта). Но раз есть повторяемость, то почему бы не применить формулу Бернулли для повторных испытаний с вероятностью взять бракованную деталь равной »?

Например, для , , , эти студенты получают . Однако они забывают, что вероятность взять бракованную деталь верна только для первого испытания. В последующих испытаниях она изменяется (становится условной), что нарушает стационарность и независимость испытаний. Если бы они знали «схему урн» или вспомнили о ней, то правильное решение находится тривиально:

.

Заметим, что при условии «большого» склада разница в решении будет несущественной, так как вероятность взять бракованную деталь изменяется медленно. Так для значений , , решение по «Бернулли» будет тем же , а вот правильное:

.

Разница менее существенна, но студенту остается уповать на «милость» преподавателя.