Формула Байеса

Она нужна для того, чтобы переоценить вероятность события при условии того, что событие произошло. Формула работает в том случае, когда события образуют полную группу(т.е. какое-то из них непременно происходит) несовместных (т.е. два разных события одновременно произойти не могут) событий.

Пусть событие произошло. Тогда переоценим вероятность события , исходя из формулы . По формуле умножения вероятностей:

,

где вероятность события будем считать известной, а вероятность события надо определить. Но по формуле умножения вероятностей, с другой стороны:

,

где обе вероятности, участвующие в правой части формулы, также будем

считать известными. Тогда, сравнивая правые части обеих формул, приходим к следующему:

.

Отсюда находим неизвестную величину :

,

или, пользуясь формулой полной вероятности, можно расписать знаменатель

и получить окончательный вид формулы Байеса:

.

___________________________________________

Пример. В городе находится 10 банков. Вероятность того, что деньги сохранятся в 4-х банках («хороших») равна 0,95, а в остальных банках («плохих») равна 0,8. Вкладчик сохранил деньги в наудачу взятом банке. (Общая ситуация: Вы никогда не знаете наверняка, в каком именно банке храните деньги: в «хорошем» или в «плохом».)

Что вероятнее: вкладчик держал деньги в «хорошем» банке или в «плохом»?

Решение. Введем обозначения:

событие - деньги сохранены;

событие - выбран «хороший» банк;

событие - выбран «плохой» банк.

Причем события и как раз и образуют полную группу (т.к. в какой-то банк положены деньги) несовместных (т.к. деньги хранились лишь в одном из банков) событий.

Тогда можно найти следующие вероятности:

- вероятность того, что деньги сохранятся, если выбран «хороший» банк;

- вероятность того, что деньги сохранятся, если выбран «плохой» банк;

- вероятность того, что выбран «хороший» банк (определяется по классическому способу нахождения вероятности событий, а число 4 равно числу благоприятствующих случаев);

- вероятность того, что выбран «плохой» банк (определяется по классическому способу нахождения вероятности событий, а число 6 равно числу благоприятствующих случаев).

Тогда (вероятность того, что был выбран «хороший» банк при условии, что деньги были сохранены) равна, по формуле Байеса:

< .

То есть вероятнее, что был выбран «плохой» банк при условии, что деньги были сохранены.

Так и в жизни. Никогда нельзя доверять тому, что говорят. Даже, если это говорит честный человек. Например, он купил автомобиль китайского производства, и автомобиль оказался хорошим. Человек утверждает, раз мой оказался хорошим, значит можно покупать китайские автомобили. Это неправда, просто этих автомобилей на рынке больше (по количеству) и хороший автомобиль вполне мог попасться этому человеку!