Формула полной вероятности

Эта формула работает в том случае, когда событие происходит в опыте вместе с рядом других событий, составляющих полную группу. Такая ситуация иллюстрируется на рис. 3.3.

Допустим, что события образуют полную группу (т.е. какое-то из них непременно происходит) несовместных (т.е. два разных события одновременно произойти не могут) событий. Тогда верна следующая теорема.

Теорема. Если событие может осуществляться только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу

несовместных событий, то:

.

Рис. 3.3. Иллюстрация к формуле полной вероятности

­Доказательство. Представим событие как событие, умноженное на достоверное событие (от этого результат не изменится), а достоверное событие как сумму всех событий :

.

Тогда по формуле сложения вероятностей (события - несовместные, а значит и события совместно произойти не могут) вероятность суммы равна сумме вероятностей:

.

Далее по формуле умножения вероятностей получаем искомое соотношение:

.

Что и требовалось доказать.

Отметим, что события часто называют гипотезами.

___________________________________________

Пример. В городе 5 банков, три из них («хорошие» банки) разорятся с вероятностью , два («плохие» банки) – с . Найти вероятность сохранения вклада, если деньги доверены наудачу одному из банков. (Общая ситуация. Вы никогда не знаете наверняка вероятность сохранения Вашего вклада).

Решение. Введем соответствующие обозначения:

событие - деньги доверены «хорошему» банку;

событие - деньги доверены «плохому» банку;

событие - деньги сохранены.

Тогда можно найти вероятность того, что деньги сохранятся в «хорошем» банке (деньги будут сохранены, при условии того, что они будут доверены «хорошему» банку):

,

т.к. эта вероятность в совокупности с вероятностью разорения «хорошего» банка даст единицу (достоверное событие).

Аналогично находится вероятность того, что деньги сохранятся в «плохом» банке (деньги будут сохранены при условии того, что они будут доверены «плохому» банку):

.

Теперь можно найти вероятность того, что деньги доверены «хорошему» банку (по классическому способу нахождения вероятности событий, а число 3 равно числу благоприятствующих случаев, а всего - 5 банков):

и «плохому» банку (по классическому способу нахождения вероятности событий, а число 2 равно числу благоприятствующих случаев):

.

Тогда по формуле полной вероятности:

.

Т.е. вероятность оказалась «размытой по середине» между вероятностью сохранить деньги в «хорошем» банке и вероятностью сохранить в «плохом» банке.