Дана функция у = у(х). Допустим, что х, в свою очередь, является функцией другой переменной х = х(t). В этом случае говорят, что уесть СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ переменной t.
Такая связь записывается следующим образом:
у = у(х),
х = х(у) .
Может также использоваться более компактная форма записи:
у = у(х(t)) .
Для вычисления производной сложной функции опять воспользуемся связью (2) между производной и дифференциалом, одновременно домножив и разделив правую часть на dx:
у't = dy = dy · dx
dt dt dx .
Перегруппировав члены, окончательно получаем:
у't = dy · dx ≡ у'x · x't . (9)
dх dt
- правило дифференцирования сложной функции. Это правило удобно представить в более подробном виде:
( у(х(t))) = у'x · x't . (10)
Такая форма записи означает следующее.
При дифференцировании сложной функции надо «внешнюю» функцию продифференцировать по ее аргументу (который записывается в виде индекса). Полученный результат умножается на производную от этого аргумента, являющегося функцией своей переменной. Т.е. указанный аргумент, который только что был использован в качестве индекса, «поднимается вверх». Процедура перемножения производных повторяется до тех пор, пока не дойдем до окончательной независимой переменной. В частности, производная «трехэтажной» сложной функции есть:
d (z(y(x(t)))) = z'y ·y'x·x't . (11)
