Основные свойства производной и дифференциала.

Правила дифференцирования.

у' ≡ f '(х) ≡ [f (x)] ' ≡ [ f(x)] (6)

Эта форма позволяет обходиться без введения у в качестве дополнительной переменной. Т.е. если дана функция f(х), то f '(х) есть производная данной функции.

Учитывая (2), производную можно представлять отношением дифференциалов:

у' ≡ dу ≡ d f(x)

dx dx (7)

Это отношение удобно для вычисления производных сложных функций и функций, заданных либо неявно, либо параметрически.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА.

Производная и дифференциал имеют следующие пять основных свойств.

1. Дифференцирование константы, С = const :

[ C] ' = C' = 0, dC = 0.

2. Вынос постоянного множителя за скобки:

(Сu)'=C • u'; d(Сu ) = Cdx .

3. Дифференцирование алгебраической суммы u = u(x) и v = v(x):

( u ± v)'=u' ± v' .

4. Дифференцирование произведения функций:

( u • v)'= u ' • v + u • v' .

5. Дифференцирование отношения функций:

u ' = u ' • v - u • v'

v v^{2 .}

Рассмотрим правила дифференцирования функций, заданных разными способами.