Вещественный корень кратности

1. Пусть - множество возможных исходов (будем рассматривать денежные исходы). Простой лотереей будем называть набор вероятностей , где – вероятность исхода и . Обозначим множество простых лотерей через .

Определение.Предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности, если каждому исходу можно присвоить число таким образом, что для любых двух лотерей и из множества простых лотерей: равносильно .

Функция U, определенная на лотереях, называется функцией ожидаемой полезности или функцией полезности Нейманна-Моргенштерна (von Neumann-Morgenstern).

Функцию , определенную на денежных суммах, принято называть элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли (будем считать ее непрерывной и возрастающей).

Утверждение(Единственность функции ожидаемой полезности).Если функция – функция ожидаемой полезности, представляющая предпочтения, определенные на , то - другая функция ожидаемой полезности, отражающая те же предпочтения на тогда и только тогда, когда существуют числа и такие, что для любой лотереи .

Определение.Будем говорить, что индивид несклонен к риску, если любая лотерея для него не лучше ожидаемого выигрыша этой лотереи, , полученного с определенностью. Если потребитель строго предпочитает ожидаемый выигрыш самой лотерее, то говорят, что он строго несклонен к риску или рискофоб.

Будем говорить, что индивид нейтрален к риску, если он безразличен между лотереей и ее ожидаемым выигрышем, полученным с определенностью.

Будем говорить, что индивид склонен к риску, если предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, полученному с определенностью. Если потребитель строго предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, то говорят, что он строго склонен к риску или рискофил.

Если предпочтения индивида представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то несклонность к риску означает вогнутость элементарной функции полезности (для рискофоба – строгую вогнутость); склонность к риску эквивалентна выпуклости элементарной функции полезности (для рискофила – строгой выпуклости); у нейтрального к риску индивида элементарная функция полезности линейна: , где , или .

Определение.Денежным (гарантированным) эквивалентом лотереи будем называть сумму денег (полученную с определенностью), которая приносит индивиду такую же полезность, что и данная лотерея: .

Премия за риск – максимальная сумма денег, от которой индивид готов отказаться, чтобы не участвовать в риске: .

Утверждение: Для индивида-рискофоба для любой лотереи выполнено: (т.е. он любую лотерею оценивает в сумму меньшую ее ожидаемого выигрыша).

2. Модель спроса на страховку.

Рассмотрим индивида-рискофоба, предпочтения которого описываются функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности. Пусть богатство данного индивида равно , однако существует возможность потери части этого богатства равной , , в результате некоторого несчастного случая, вероятность которого равна . Индивид может приобрести страховку от несчастного случая у нейтральной к риску страховой компании, не несущей операционных издержек, по цене за единицу страхового покрытия ( ). Пусть - это величина страхового покрытия приобретаемого индивидом, т.е. та сумма, на которую он страхуется. Будем считать, что страхование на сумму, превышающую потери, запрещено, т.е. . Если индивид купит единиц страховки, то его богатство при наступлении несчастного случая составит , а в противном случае – . Индивид выбирает такой объем страхового покрытия, который доставляет максимум ожидаемой полезности, т.е. является решением следующей задачи:

В случае, когда , будем говорить, что условия страхования актуарно справедливы, а в случае будем говорить, что страховка не является актуарно справедливой.

Вещественный корень кратности

б) Вещественный корень кратности .Если корень характеристического уравнения имеет кратность ,то, естественно, мы не можем использовать одинаковых частных решений вида , соответствующих этому корню, так как определитель Вронского будет иметь одинаковые столбцы и, следовательно, обратится в ноль. В указанном виде мы сможем взять только одно из частных решений. Можно показать, что все частных решений, соответствующих данному корню характеристического уравнения, имеют вид , то есть функции , удовлетворяют исходному однородному дифференциальному уравнению. Заметим прежде всего, что если – корень уравнения кратности ,то – корень любого из уравнений .

Покажем, как проводится доказательство того, что (случай ) удовлетворяет исходному однородному уравнению. Подставим в левую часть исходного однородного дифференциального уравнения и получим

Первое выражение в квадратных скобках обращается в ноль, так как – корень характеристического уравнения, второе выражение в квадратных скобках обращается в ноль, так как – корень уравнения . Подобным же образом можно показать, что функции , удовлетворяют исходному однородному дифференциальному уравнению.

П р и м е р. Решить однородное дифференциальное уравнение . Характеристическое уравнение имеет вид , и следовательно, имеет корни 0 (кратности четыре) и 1 (кратности два). Поэтому общим решением исходного дифференциального уравнения является функция .

в) Простой комплексный корень.При решении алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами наличие комплексного корня обеспечивает наличие комплексно сопряженного корня . Поэтому можно было бы в качестве частных решений, соответствующих этой паре корней, взять функции . Однако для того, чтобы не привлекать комплексные числа для решения дифференциальных уравнений с вещественными коэффициентами, используя формулу Эйлера , в качестве частных решений берут функции и .

П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение . Характеристическим уравнением является уравнение . Корнями этого уравнения являются (кратности 2) и комплексные корни . Поэтому общее решение имеет вид .

г) Комплексные корни кратности .В случае, когда характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня кратности ,соответствующие этим корням частные решения соответствующего однородного дифференциального уравнения имеют вид , и .

П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение . Характеристическое уравнение можно представить в виде , следовательно, корнями характеристического уравнения являются (кратности 2) и (кратности 2). Поэтому общим решение заданного однородного дифференциального уравнения будет функция .

Решение неоднородного уравнения. Мы уже знаем, как найти общее решение однородного уравнения. Чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, нужно найти частное решение неоднородного уравненияи прибавить к нему уже найденное общее решение соответствующего однородного уравнения. Действительно, пусть – общее решение однородного уравнения , содержащее произвольных постоянных . Если удовлетворяет неоднородному уравнению , то функция удовлетворяет тому же неоднородному уравнению и содержит произвольные постоянные .

Таким образом, вопрос о нахождении общего решения неоднородного уравнения сводится к вопросу о нахождении частного решения неоднородного уравнения. Существуют разные методы построения такого решения. Рассмотрим метод вариации произвольной постоянной,который позволяет сразу получить общее решение неоднородного уравнения.

Суть этого метода в том, что, получив решение соответствующего однородного уравнения в виде , мы ищем общее решение неоднородного уравнения в виде и подбираем такие неизвестные функции , чтобы функция удовлетворяла неоднородному уравнению. Оказывается, что для этого достаточно, чтобы эти производные этих неизвестных функций удовлетворяли системе

Докажем это для случая . Пусть необходимо решить уравнение . Решение однородного уравнения имеет вид , причем . Возьмем общее решение неоднородного уравнения в виде и подставим в неоднородное уравнение. Мы получим:

Выражения, имеющие сомножителями и обращаются в ноль, поэтому имеем:

Пусть . Взяв производные от обеих частей этого равенства, получим . Поэтому для того, чтобы функция была решением неоднородного уравнения, остается положить .

П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение . Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Следовательно, общее решение однородного уравнения – функция . Поэтому общее решение неоднородного уравнение ищем в виде . Для определения неизвестных функций составим систему относительно их производных

Сокращая уравнения на , мы получим систему с главным определителем, равным 1. Решая систему и интегрируя, получим

. Общее решение исходного уравнения запишется теперь в виде . Заметим, что в силу произвольности константы выражение можно заменить выражением . Поэтому решение можно записать в виде .