Основные определения

1. Пусть - множество возможных исходов (будем рассматривать денежные исходы). Простой лотереей будем называть набор вероятностей , где – вероятность исхода и . Обозначим множество простых лотерей через .

Определение.Предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности, если каждому исходу можно присвоить число таким образом, что для любых двух лотерей и из множества простых лотерей: равносильно .

Функция U, определенная на лотереях, называется функцией ожидаемой полезности или функцией полезности Нейманна-Моргенштерна (von Neumann-Morgenstern).

Функцию , определенную на денежных суммах, принято называть элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли (будем считать ее непрерывной и возрастающей).

Утверждение(Единственность функции ожидаемой полезности).Если функция – функция ожидаемой полезности, представляющая предпочтения, определенные на , то - другая функция ожидаемой полезности, отражающая те же предпочтения на тогда и только тогда, когда существуют числа и такие, что для любой лотереи .

Определение.Будем говорить, что индивид несклонен к риску, если любая лотерея для него не лучше ожидаемого выигрыша этой лотереи, , полученного с определенностью. Если потребитель строго предпочитает ожидаемый выигрыш самой лотерее, то говорят, что он строго несклонен к риску или рискофоб.

Будем говорить, что индивид нейтрален к риску, если он безразличен между лотереей и ее ожидаемым выигрышем, полученным с определенностью.

Будем говорить, что индивид склонен к риску, если предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, полученному с определенностью. Если потребитель строго предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, то говорят, что он строго склонен к риску или рискофил.

Если предпочтения индивида представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то несклонность к риску означает вогнутость элементарной функции полезности (для рискофоба – строгую вогнутость); склонность к риску эквивалентна выпуклости элементарной функции полезности (для рискофила – строгой выпуклости); у нейтрального к риску индивида элементарная функция полезности линейна: , где , или .

Определение.Денежным (гарантированным) эквивалентом лотереи будем называть сумму денег (полученную с определенностью), которая приносит индивиду такую же полезность, что и данная лотерея: .

Премия за риск – максимальная сумма денег, от которой индивид готов отказаться, чтобы не участвовать в риске: .

Утверждение: Для индивида-рискофоба для любой лотереи выполнено: (т.е. он любую лотерею оценивает в сумму меньшую ее ожидаемого выигрыша).

2. Модель спроса на страховку.

Рассмотрим индивида-рискофоба, предпочтения которого описываются функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности. Пусть богатство данного индивида равно , однако существует возможность потери части этого богатства равной , , в результате некоторого несчастного случая, вероятность которого равна . Индивид может приобрести страховку от несчастного случая у нейтральной к риску страховой компании, не несущей операционных издержек, по цене за единицу страхового покрытия ( ). Пусть - это величина страхового покрытия приобретаемого индивидом, т.е. та сумма, на которую он страхуется. Будем считать, что страхование на сумму, превышающую потери, запрещено, т.е. . Если индивид купит единиц страховки, то его богатство при наступлении несчастного случая составит , а в противном случае – . Индивид выбирает такой объем страхового покрытия, который доставляет максимум ожидаемой полезности, т.е. является решением следующей задачи:

В случае, когда , будем говорить, что условия страхования актуарно справедливы, а в случае будем говорить, что страховка не является актуарно справедливой.