Непрерывность функции

Описания любого процесса должно включать не только описание состава ресурсов (исходные данные процесса), но и их количественную характеристику (иначе невозможно будет определить результативность и эффективность процессов). Поэтому необходимо уделить должное внимание документированию управления нормирования ресурсов, которое включает в себя нормирование:

- сырья, основных и вспомогательных материалов, комплектующих;

- энергоресурсов;

- запасных частей для оборудования, средств измерений, испытательного

оборудования;

- плановых простоев оборудования;

- финансовых ресурсов (оборотных средств, незавершенного производства и др.);

- трудовых ресурсов (нормативы численности, штатные расписания и др.).

Управление нормированием должно включать требования к разработке различных видов норм, их согласованию, утверждению, изданию, учету, актуализации и пересмотру. Наряду с этим необходимо разработать, согласовать и утвердить соответствующие методики расчета различных видов норм. Как правило, этим видом деятельности должна заниматься экономическая служба предприятия (планово-финансовые отделения и т.п.).

Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются следующие условия:

1) функция определена в точке ;

2) должны существовать конечные пределы и , которые равны между собой, т.е = ;

3) эти пределы равны значению функции в этой точке, т.е. .

Точка называется точкой разрыва функции , если не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности.

Все элементарные функции непрерывны в области определения.

Точки разрыва функции делятся на два типа. К точкам разрыва первого рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы (левый предел), (правый предел), но они не равны между собой.

К точкам разрыва второго рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Пример 3.2. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и ее пределы в этой точке слева и справа. Сделать чертеж.

а)

При различных значениях функция задана различными формулами. В каждом из промежутков(–¥ ; 0) , (0 ; 4)и(4 ; + ¥)она непрерывна как элементарная, следовательно, разрыв может быть только в граничных точках промежутков, т.е. в точках и .

Вычислим односторонние пределы функции в этих точках:

Исследуем точку :

Левосторонний предел конечен, но не равен конечному правостороннему пределу, следовательно, в точке х=0функция терпит разрыв 1-го рода. Причем в точке х=0 она непрерывна справа, так как

.

Исследуем точку :

Левосторонний предел равен правостороннему пределу и равны значению функции в этой точке

Cледовательно, в точке функция непрерывна. Построим график функции (рис. 3.1).

Рис. 3.1

б) .

Область определения этой функции .Необходимо исследовать поведение функции в точке , так как в ней функция не определена. Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке:

(здесь положили и ).

(положили и ).

Таким образом, левосторонний предел функции равен 0 и конечен, а правосторонний предел функции равен бесконечности. Следовательно, точка есть точка разрыва 2-го рода.

Кроме того, найдем предел функции при х ® ± ¥.

,

Тогда прямая является горизонтальной асимптотой.

Найдем значения функции в нескольких точках:

Построим график функции (рис.3.2).

Рис 3.2

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на интервале.

2. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на интервале, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

3. Что называется точкой разрыва функции? Приведите примеры.

4. Дайте определение точки разрыва 1-го рода и точки разрыва 2-го рода. Приведите примеры.