Отношения эквивалентности

127Какие из отношении в упражнении 113 являются отноше­ниями эквивалентности?

128Является ли отношением эквивалентности «иметь одинако­вые остатки при делении на 7»?

129Какие отношения эквивалентности можно ввести в множе­ство учеников вашего класса?

130Является ли отношением эквивалентности в множестве учеников вашего класса «участвовать в одной спортивной секции»?

131Какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности:

а) равноудалениость от Москвы (в множестве городов);

б) принадлежность одному роду (в множестве живых существ);

в) быть двоюродным братом или сестрой (в множестве людей);

г) иметь общую границу (в множестве государств)?

Классы эквивалентности

132На рисунке изображены треугольники:

Разбейте их на классы эквивалентности:

а) по свойствам углов;

б) по свойствам сторон.

133Можно ли разбить множество треугольников на такие клас­сы: разносторонние, равнобедренные и равносторонние?

134Можно ли разбить множество целых чисел на подмноже­ства положительных и отрицательных чисел?

135На плоскости проведена прямая l. Можно ли сказать, что множество всех прямых на этой плоскости разбивается на три клас­са: параллельные данной прямой, перпендикулярные ей и пересе­кающиеся с этой прямой?

136На какие классы разбивается множество натуральных чи­сел отношением «иметь одинаковые остатки при делении на 7»?

137На какие множества разбивается множество учащихся от­ношением «учиться в одной, школе»?

138Можно ли классифицировать учащихся на отличников, пионеров и мальчиков?

139На плоскости проведена окружность. Можно ли разбить множество всех окружностей на этой плоскости на два класса: касающихся этой окружности и пересекающихся с ней в двух точ­ках? Какой класс окружностей надо еще добавить?

140На какие классы разбивается множество русских слов?

141На какие классы разбивается множество слов предложе­ния?

142На какие классы разбивается множество водоемов?

143Пусть отношение R рефлексивно и транзитивно. Докажи­те, что пересечение R Ç – отношение эквивалентности. Яв­ляется ли эквивалентностью R È ?

144Является ли отношением эквивалентности равносильность уравнений?

145Отношение параллельности рефлексивно, симметрично и транзитивно. На какие классы разбивается множество прямых ли­ний на плоскости этим отношением? Дайте определение направле­ния на плоскости.

146Отношение концентричности окружностей рефлексивно, симметрично и транзитивно. На какие классы разбивается множе­ство окружностей на плоскости этим отношением? Установите би­ективное соответствие между множеством точек плоскости и множе­ством классов эквивалентности.

147Назовем два существительных взаимозаменяемыми, если в любом предложении, где встречается одно из этих существитель­ных, можно заменить его другим существительным, стоящим в той же грамматической форме, и предложение не утратит грамматиче­ской правильности. Например, слова «интеграл» и «утюг» взаимо­заменяемы: заменяя в предложении «интеграл суммы равен сумме интегралов» слово «интеграл» на «утюг», получаем грамматически правильное предложение «утюг суммы равен сумме утюгов». Точно так же, заменяя в предложении «утюг стоял на столе» слово «утюг» на «интеграл», получаем грамматически правильное предложение «интеграл стоял на столе». А слова «утюг» и «сумма» не являются взаимозаменяемыми – нельзя сказать «сумма стоял на столе».

Докажите, что отношение взаимозаменяемости слов рефлексив­но, симметрично и транзитивно. Разбейте на классы эквивалент­ности множество слов:

{дядя, няня, маэстро, мышь, животное, день, пальто, поле}.