Толерантностью называется рефлексивное и симметричное бинарное отношение на одном множестве.
Это математическое уточнение отношения сходства (похожести) между объектами, хотя основное значение латинского слова tolerantia – терпение. Данное аксиоматическое определение отношения сходства ввел английский математик Зиман, изучавший модели зрительного аппарата, открыв тем самым новый подход к изучению отношений. Дело в том, что традиционный подход заключался в предварительном определении меры сходства (расстояния между объектами), на основе которой затем исследовались взаимное расположение и группировка объектов. Новый подход открывал возможность изучать сходство независимо от того, как конкретно оно определено. Большой вклад в изучение сходства по-новому внес в конце 1960-х годов наш соотечественник Ю, А. Шрейдер. Рассмотрим, почему определенное выше отношение толерантности моделирует интуитивное понятие сходства.
Рассмотрим примеры отношения сходства, обладающего только рефлексивностью и симметричностью.
Две новые автомашины одной и той же марки, одного года выпуска и одинакового цвета полностью могут заменить друг друга. Но такие же две автомашины, имеющие разный цвет, лишь похожи друг на друга, и может случиться, что покупатель предпочтет купить одну из этих машин, а не другую. Еще меньше сходства между автомашинами одной и той же марки, но разных годов выпуска, а уж легковая машина и самосвал похожи лишь общим строением (обе машины имеют мотор, колеса, шасси, руль, тормоз и т. д.), но по общему виду совсем не похожи друг на друга.
Во-первых, очевидно, что любой объект похож на самого себя, поэтому мы принимаем аксиому, что отношение сходства рефлексивно. Во-вторых, если первый объект похож на второй, то второй похож на первый. Другими словами, два объекта сходны или не сходны независимо от порядка, в котором они сравниваются. Поэтому мы принимаем аксиому симметричности сходства. Но вряд ли можно из того, что х похож на у и у похож на z, сделать, безоговорочное заключение о сходстве х и z. Известны серии карикатур, в которых каждые два соседних рисунка почти неотличимы друг от друга, но в результате человеческое лицо превращается, например, в грушу. Таким образом, отношение сходства обладает лишь свойствами рефлексивности и симметричности, а транзитивным его считать нельзя.
Приведем примеры отношений сходства.
Пример 1. Назовем два слова сходными, если они состоят из одинакового числа букв, причем либо совпадают, либо отличаются лишь одной буквой. Например, сходны слова «роза» и «коза», равно как и слова «коза» и «коса». Однако слова «роза» и «коса» не являются сходными, так как различаются в двух буквах. С помощью перехода от слова к сходному с ним слову можно «превратить муху в слона». Вот одна из цепочек:
Пример 2. Отношение «быть другом» в множестве людей тоже является отношением сходства (если, конечно, считать, что каждый человек сам себе друг). Оно рефлексивно и симметрично, но не является транзитивным (не всякий друг моего друга дружит со мной).
Пример 3. Как известно, глаз обладает ограниченной разрешающей способностью. Так, если взять несколько точек, расположенных на прямой на некотором расстоянии s друг от друга, то при достаточно малом s мы не сможем различить две соседние точки, но достаточно удаленные точки окажутся различимыми.
Пример 4. Обычно люди, "взвешивая" предмет в руке, не ощущают разницу в 1 г, и поэтому они не различают предметы массой, например, 10 и 11, 11 и 12, 12 и 13 г, но могут различить 10 и 13 г.
Пример 5. Схожие объекты могут накапливать незначительные различия так, что в их ряду можно найти совершенно непохожие объекты:
Гравюра голландского художника Эсхера "День и ночь" (вверху)
и последовательные трансформации фигур (внизу) показывают,
как накопление незначительных различий в сходных объектах
приводит к совершенно непохожим объектам
Соответствие между типами отношений и их свойствами является, по существу, определением типов отношений. Данное соответствие само является бинарным отношением и, следовательно, может быть представлено в виде матрицы, графа и связанных структур классов и ко-классов. В графе данного соответствия штриховыми линиями отмечено то, что асимметричность и антисимметричность для строгого порядка выводимы из остальных его свойств и, следовательно, их не обязательно включать в определение этого отношения. В скобках указаны условные обозначения типов отношений и их свойств, использованные в изображении структур классов и ко-классов. Из рисунка видно, что некоторые отношения являются частными случаями других. Так например, эквивалентность является частным случаем толерантности, поскольку она кроме свойств толерантности (рефлексивности и симметричности) имеет еще и свойство транзитивности. В то же время эквивалентность – частный случай квазипорядка, поскольку дополнительно к его свойствам обладает еще и симметричностью.
Контрольные вопросы
1Как определяется отношение эквивалентности? Приведите примеры.
2Что такое классы эквивалентности?
3Как определяется отношение порядка? Приведите примеры.
4Какое отношение называется отношением строгого порядка? Приведите примеры.
5Какое отношение называется отношением нестрогого порядка? Приведите примеры.
6Какой порядок называется линейным?
7Какой порядок называется древесным?
8Какие множества называются упорядоченными? частично упорядоченными?
9Как изображаются отношения порядка?
10Что такое квазипорядок?
11Какое множество называется ограниченным?
12Как определяется отношение сходства (толерантности)? Приведите примеры.
Литература
Гончарова Г. А., Мочалин А. А. Элементы дискретной математики: Учебное пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2004. – 128 с. – (Серия «Профессиональное образование»). Гл. 1. С. 19 – 24.
Дунаев В. В. Занимательная математика. Множества и отношения. – СПб.: БХВ-Петербург, 2008. – 336 с.: ил. Ч. II. Гл. 5. С. 172-242.
Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс / И. Н. Антипов, Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, А. Г. Мордкович.– М.: Просвещение, 1979. – 191 с., ил. С. 173 – 191.
Кузьмин О. В. Комбинаторные методы решения логических задач: учеб. пособие / О. В. Кузьмин. – М.: Дрофа, 2006. – 187, [5] с.: ил. Гл 3. §2.2. С.38 – 48.
Спирина М. С. Дискретная математика: Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с. Гл. 1. С. 38 – 45.
