Раздел 1. Гидромеханика.

Дифференциальное уравнение или система, описывающие какой-либо физический процесс, обычно таковы, что участвующие в них функции, а также числовые коэффициенты и начальные условия задаются приближённо, с какой-либо степенью точности. Если решение уравнения меняется сильно при незначительном изменении этих данных, то такое решение неустойчиво и появляются серьёзные сомнения в том, что эти функции действительно описывают данный процесс. Естественным требованием поэтому является устойчивостьрешений. Из различных понятий устойчивости мы выберем наиболее употребительное – устойчивость по Ляпунову.

Пусть

(1)

– система дифференциальных уравнений, записанная в векторной форме (здесь неизвестная вектор-функция). Рассматриваются решения этой системы, удовлетворяющие начальному условию и определённые на полуоси Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого найдется такое , что для всякого решения , начальные условия которого удовлетворяют неравенствам

для всех , то справедливы неравенства

.

Дадим геометрическую интерпретацию этому определению.

Рис.1.

На рис.1. приведен график i-ой компоненты невозмущенного решения . В окрестности этой компоненты построен «коридор» шириной . Тогда для любого фиксированного значения найдется такое , зависящее от , что как только начальные условия компоненты возмущенного решения окажутся внутри отрезка , график компоненты полностью займет место внутри коридора шириной .

Если же для заданного при любом сколь угодно малом неравенство не выполняется при всех хотя бы для одного значения , то решение называется неустойчивым.

Если решение не только устойчиво, но и удовлетворяет условию

. (2)

при условии , то решение называется асимптотически устойчивым.

Если частное решение системы

,

то есть, если все при всех значениях аргумента равны нулю, то такое решение называется точкой покоя.

Исследование устойчивости данного решения значительно упрощается, если вместо ввести вектор .

Тем самым задача сводится к устойчивости точки покоя .

Не вводя новых обозначений, считаем, что исследуемой на устойчивость функцией будет вектор-функция .

Формулировка устойчивости по Ляпунову для тривиального нулевого решения принимает вид:

Точка покоя системы устойчива по Ляпунову, если что из неравенства следует для всех .

Рассмотрим простейшие точки покоя при для линейных систем с :

Для этого исследуем общее решение системы. Характеристическое уравнение имеет вид

(3)

или сокращенно где след матрицы , а

Рассмотрим частные случаи.

1. Корни характеристического уравнения (3) – действительные различные числа где

Поиск общего решения производится в форме

Коэффициенты и с точностью до постоянного множителя определяются из однородной системы уравнений

При этом возможны следующие варианты.

1а) Если то точка покоя асимптотически устойчива. Устойчивость следует из того, что в какой бы -окрестности точка не находилась, с течением времени интегральная кривая остается внутри куба так как монотонно стремится к нулю. Поэтому можно положить равным . Система асимптотически устойчива, так как Точка покоя в этом случае называется устойчивым узлом (см.рис.2).

Рис.2.

1б) . Точка покоя здесь называется неустойчивым узлом. Форма интегральных кривых такая же , как в предыдущем случае, но стрелки направлены противоположно. Из любого куба со стороны (в нашем случаи из квадрата) с увеличением происходитудаление от точки покоя (рис.3).

Рис.3.

1в) Если корни характеристического уравнения разных знаков (пусть ), то точка покоя называется седлом. Это неустойчивая точка покоя. Только по одной прямой, когда а и отличны от нуля, движение по интегральной прямой с увеличением стремятся к нулю. Но при любом нельзя найти такую окрестность точки покоя, чтобы все интегральные кривые оставались внутри - квадрата (рис.4).

Рис.4.

2. Корни характеристического уравнения комплексные:

Общее решение системы имеет вид

где - некоторые действительные числа.

Рассмотрим частные случаи.

2а) . Общий множитель в формуле стремится к нулю, а и остаются ограниченными. Интегральные линии асимптотически приближаются к нулю при . Точка покоя называется устойчивым фокусом.

Рис.5.

2б) . Кривые имеют тот же вид, что и в случае 2а), однако с увеличением множитель неограниченно возрастает, стрелки спирали направлены в сторону удаления от точки покоя, которая называется неустойчивым фокусом (рис.6).

Рис.6.

2в) Корни чисто мнимые: . Общее решение имеет вид

Это граничная ситуация между рассмотренными случаями 2а) и 2б). Интегральные кривые являются подобными эллипсами, в общем случае вложенными друг в друга замкнутыми кривыми. Точка покоя называется центром. Это устойчивая точка покоя, так как можно найти квадрат такой, что все интегральные кривые будут целиком содержаться в квадрате . Но это не асимптотическая точка покоя, так как никакого стремления к нулю при нет.

3. Если корни кратные и действительные: , то частные случаи будут следующие.

3а)

Это асимптотически устойчивый узел (рис.7).

Рис.7.

Данный узел занимает промежуточное положение между узлом вида 1а) и устойчивом фокусом, когда появляется мнимая составляющая.

3б) . Как и в предыдущем случае - узел, но неустойчивый. Движение происходит в направлении от точки покоя. Все интегральные кривые касаются в точке покоя (рис.8).

Рис.8.

4. Если то общее решение имеет вид

.

Если из двух уравнений и исключить то получим семейство параллельных прямых:

.

4а) Если имеем устойчивую неасимптотическую точку покоя.

Рис.9.

4б) Если неустойчивая точка покоя.

Рис.10.

Классификация точек покоя при носит более сложный характер.

Например, пусть при решении кубического характеристического уравнения один из корней отрицателен и два других комплексно сопряжены с отрицательной действительной частью. Тогда интегральные кривые в окрестности точка покоя носят характер винтообразной спирали, направленной к точке покоя.

Устойчивость нулевого решения неоднородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема. Пусть дана система дифференциальных уравнений

Раздел 1. Гидромеханика.

В разделе “Гидромеханика” рассматриваются вопросы, связанные с гидромеханическими процессами в жидкой среде. Гидромеханика – это наука о законах равновесия и движения жидкостей.

Глава 1. Основные физические свойства жидкости.

1.1. Общие положения.

Здесь мы остановимся на основных понятиях, определениях и терминах, используемых в гидромеханике.

Начнем с понятия жидкость.

Жидкость - это субстанция, обладающая текучестью или легкодвижностью.

В свою очередь текучесть - это способность какой-либо субстанции непрерывно и сколь угодно сильно деформироваться под действием сколь угодно малого срезывающего касательного напряжения.

Этим свойством обладают и газы. Поэтому в определенных пределах закономерности статики и динамики для жидкостей и газов одинаковы.

Жидкость по своим физическим свойствам занимает среднее положение между твердыми телами и газами. Она мало изменяет свой объем при изменении температуры и давления, что свойственно твердым телам. Но обладает текучестью, что свойственно газам. В отличие от газов жидкость образует свободную поверхность. В малых объемах под действием сил поверхностного натяжения жидкость группируется в капли. Отсюда происходит применяемое понятие “капельная жидкость”.

Основные термины:

Жидкая частица - мысленно выделенная весьма малая масса жидкости.

Жидкий объем - мысленно выделенный объем, состоящий из одних и тех же жидких частиц.

Контрольный объем - мысленно выделенный постоянный объем, занимающий неизменное положение в пространстве. Через него может проходить жидкость, пронизывая ограничивающую его поверхность.

Контрольная поверхность - поверхность, ограничивающая контрольный объем или жидкий объем.

В основе исследования жидкости лежит постулат сплошности Даламбера-Энглера. Жидкость представляется как сплошная среда, лишенная молекул и межмолекулярных пространств и обладающая одинаковыми свойствами в любом малом ее количестве.

Поскольку жидкость все же состоит из движущихся молекул, считается, что выводы гидравлики справедливы лишь до определенных размеров объемов. Характерные размеры течения L должны быть значительно больше длины свободного пробега молекулы l.

Из теории подобия известен ряд критериев, характеризующих течение жидкости.

Например:

Критерий Кнудсена должно быть K=l/L < 0,01.

Следует отметить, для жидкостей, имеющих малые значения l ( в отличие от газов ) характерные размеры жидких объемов достаточно велики, чтобы не сказывалось молекулярное строение.

Другим важным постулатом является гипотеза Прантля о прилипании молекул жидкости к твердым поверхностям. Это позволяет считать слой жидкости у твердой поверхности неподвижным относительно этой поверхности.

Плотность жидкости – это характеристика распределения массы жидкости в пространстве.

Средняя плотность жидкости определяется по следующей зависимости:

где - масса жидкости, заключенная в объеме .

Плотность в точке пространства:

Строго говоря, предельный переход имеет ту условность, что осуществляется переход не к нулевому объему, а к малому объему с учетом критерия Кнудсена.

Переходя в конечному объему жидкости плотность r — это масса единицы объёма жидкости (кг/м3)

,

где m — масса, кг; V — объём, м3.

Например: плотность воды при температуре +4 °С равна 1000 кг/м³. Следует заметить, что плотность воды зави­сит от темпера­туры незначительно. В большинстве гидравлических расчётов свойствами сжи­маемости и температурного расширения жидкостей прене­брегают, и для воды считают плотность постоянной и рав­ной 1000 кг/м3.

Удельный вес

Удельный вес γ — это вес единицы объёма жидкости (Н/м3)

,

где G — вес (сила тяжести), Н; V — объём, м3.

Связаны удельный вес и плотность через ускорение свободного паде­ния (g = 9,81 » 10 м/с2) так :

.