Лекция 14 ГЛАВА V. Устойчивость

В среде СУБД можно выделить несколько основных компонентов (Слайд 25):

· данные,

· аппаратное обеспечение,

· программное обеспечение,

· пользователи.

БД, прежде всего, должна содержать:

· имена, типы и размеры элементов данных;

· имена связей;

· ограничения целостности данных;

· имена зарегистрированных пользователей и их права по доступу к дан­ным;

· используемые индексы и структуры хранения.

Для хранения данных и различного рода ПО, а так­же функционирования ИС необходимо аппаратное обеспечение - набор физических устройств, на которых существуют БД, СУБД и другие компоненты ИС. Оно должно соответствовать требованиям употребляемой СУБД и БД. Это может быть один ПК или сеть. Для успешной работы ИС все компоненты СУБД должны быть тщательно подобраны, с тем, чтобы они были в состоя­нии совместно работать согласованно.

К составляющим программного обеспечения относятся:

· ОС, включая сетевое программное обеспечение, если СУБД работает в сети;

· программное обеспечение самой СУБД;

· прикладные программы-приложения.

Прикладные программы используют средства СУБД для обращения к дан­ным и их обработки, создавая формы, отчеты и другие документы. Многие современные СУБД имеют специальные программные средства, называемые инструментами, для быст­рой разработки приложений с употреблением встроенных непроцедурных языков.

Среди пользователей СУБД можно выделить четыре категории лиц, каждая из которых имеет свой круг интересов и связана с определенным этапом разра­ботки и существования БД. Определим эти основные категории лиц, а так­же их роли и функции на разных стадиях существования баз данных:

· администраторы данных и баз данных;

· разработчики баз данных;

· прикладные программисты;

· конечные пользователи.

Данные — это важный ресурс организации, и ими надо умело управлять. Столь важная функция возложена на специалистов определенного рода — администраторов данных (АД). Они работают с данными с самого начала процесса проектирования базы данных и отвечают за концептуальное и логическое проектирование базы данных, управление данными, разработку и сопровождение стандартов, бизнес-правил и деловых процедур.

Физическое проектирование и физическая реализация базы данных, обеспе­чение безопасности и целостности данных, обеспечение максимальной про­изводительности приложений — это область действия компетенции админи­стратора базы данных (АБД). Как видно по сравнению с АД, обязанности АБД более связаны с решением технических проблем.

Разработчики баз данных — функ­ционируют во время проектирования, создания и реорганизации базы дан­ных. Результатом их деятельности является хорошо спроектированная БД, снабжающая достоверной и непротиворечивой информацией всех конечных пользователей.

При проектировании больших БД все разработчики распадаются на две группы:

· разработчики логической БД;

· разработчики физической БД.

Разработчики логической базы данных занимаются выявлением интересующих объектов и их свойств, связей между объектами и тех ограничений, которые необходимо наложить на хранимые данные.

Осуществление своей деятельности указанные разработчики выполняют в два этапа:

· разработка концептуальной модели БД;

· разработка логической модели БД.

Разработчики физической базы данных должны разбираться в функциональ­ных возможностях выбранной СУБД, знать все варианты возможного физи­ческого воплощения полученной логической модели данных и понимать их достоинства и недостатки, с тем, чтобы выбрать наиболее оптимальный вариант для данного случая и правильно выстроить всю стратегию хранения и использования данных.

Сразу после создания базы данных следует приступить к разработке прило­жений, предоставляющих пользователям необходимые им функциональные возможности. Именно эту работу выполняют прикладные программисты.

Конечные пользователи.(Клиенты) База данных проектируется, создается и поддерживается для того, чтобы обслуживать их информационные потребности. Среди них есть и неопытные поль­зователи, ничего не знающие о базе данных. Для них разрабатываются такие приложения, которые позволяют в максимальной степени упростить выпол­няемые ими операции, например, путем выбора команды меню. Ква­лифицированным пользователям, хорошо знакомым с моделью БД, с возможностями установленной СУБД, в принципе, под силу решение лю­бых информационных задач путем использования инструментария СУБД, языка структурированных запросов SQL или созданных своими руками приложений.

Лекция 14 ГЛАВА V. Устойчивость

Дифференциальное уравнение или система, описывающие какой-либо физический процесс, обычно таковы, что участвующие в них функции, а также числовые коэффициенты и начальные условия задаются приближённо, с какой-либо степенью точности. Если решение уравнения меняется сильно при незначительном изменении этих данных, то такое решение неустойчиво и появляются серьёзные сомнения в том, что эти функции действительно описывают данный процесс. Естественным требованием поэтому является устойчивостьрешений. Из различных понятий устойчивости мы выберем наиболее употребительное – устойчивость по Ляпунову.

Пусть

(1)

– система дифференциальных уравнений, записанная в векторной форме (здесь неизвестная вектор-функция). Рассматриваются решения этой системы, удовлетворяющие начальному условию и определённые на полуоси Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого найдется такое , что для всякого решения , начальные условия которого удовлетворяют неравенствам

для всех , то справедливы неравенства

.

Дадим геометрическую интерпретацию этому определению.

Рис.1.

На рис.1. приведен график i-ой компоненты невозмущенного решения . В окрестности этой компоненты построен «коридор» шириной . Тогда для любого фиксированного значения найдется такое , зависящее от , что как только начальные условия компоненты возмущенного решения окажутся внутри отрезка , график компоненты полностью займет место внутри коридора шириной .

Если же для заданного при любом сколь угодно малом неравенство не выполняется при всех хотя бы для одного значения , то решение называется неустойчивым.

Если решение не только устойчиво, но и удовлетворяет условию

. (2)

при условии , то решение называется асимптотически устойчивым.

Если частное решение системы

,

то есть, если все при всех значениях аргумента равны нулю, то такое решение называется точкой покоя.

Исследование устойчивости данного решения значительно упрощается, если вместо ввести вектор .

Тем самым задача сводится к устойчивости точки покоя .

Не вводя новых обозначений, считаем, что исследуемой на устойчивость функцией будет вектор-функция .

Формулировка устойчивости по Ляпунову для тривиального нулевого решения принимает вид:

Точка покоя системы устойчива по Ляпунову, если что из неравенства следует для всех .

Рассмотрим простейшие точки покоя при для линейных систем с :

Для этого исследуем общее решение системы. Характеристическое уравнение имеет вид

(3)

или сокращенно где след матрицы , а

Рассмотрим частные случаи.

1. Корни характеристического уравнения (3) – действительные различные числа где

Поиск общего решения производится в форме

Коэффициенты и с точностью до постоянного множителя определяются из однородной системы уравнений

При этом возможны следующие варианты.

1а) Если то точка покоя асимптотически устойчива. Устойчивость следует из того, что в какой бы -окрестности точка не находилась, с течением времени интегральная кривая остается внутри куба так как монотонно стремится к нулю. Поэтому можно положить равным . Система асимптотически устойчива, так как Точка покоя в этом случае называется устойчивым узлом (см.рис.2).

Рис.2.

1б) . Точка покоя здесь называется неустойчивым узлом. Форма интегральных кривых такая же , как в предыдущем случае, но стрелки направлены противоположно. Из любого куба со стороны (в нашем случаи из квадрата) с увеличением происходитудаление от точки покоя (рис.3).

Рис.3.

1в) Если корни характеристического уравнения разных знаков (пусть ), то точка покоя называется седлом. Это неустойчивая точка покоя. Только по одной прямой, когда а и отличны от нуля, движение по интегральной прямой с увеличением стремятся к нулю. Но при любом нельзя найти такую окрестность точки покоя, чтобы все интегральные кривые оставались внутри - квадрата (рис.4).

Рис.4.

2. Корни характеристического уравнения комплексные:

Общее решение системы имеет вид

где - некоторые действительные числа.

Рассмотрим частные случаи.

2а) . Общий множитель в формуле стремится к нулю, а и остаются ограниченными. Интегральные линии асимптотически приближаются к нулю при . Точка покоя называется устойчивым фокусом.

Рис.5.

2б) . Кривые имеют тот же вид, что и в случае 2а), однако с увеличением множитель неограниченно возрастает, стрелки спирали направлены в сторону удаления от точки покоя, которая называется неустойчивым фокусом (рис.6).

Рис.6.

2в) Корни чисто мнимые: . Общее решение имеет вид

Это граничная ситуация между рассмотренными случаями 2а) и 2б). Интегральные кривые являются подобными эллипсами, в общем случае вложенными друг в друга замкнутыми кривыми. Точка покоя называется центром. Это устойчивая точка покоя, так как можно найти квадрат такой, что все интегральные кривые будут целиком содержаться в квадрате . Но это не асимптотическая точка покоя, так как никакого стремления к нулю при нет.

3. Если корни кратные и действительные: , то частные случаи будут следующие.

3а)

Это асимптотически устойчивый узел (рис.7).

Рис.7.

Данный узел занимает промежуточное положение между узлом вида 1а) и устойчивом фокусом, когда появляется мнимая составляющая.

3б) . Как и в предыдущем случае - узел, но неустойчивый. Движение происходит в направлении от точки покоя. Все интегральные кривые касаются в точке покоя (рис.8).

Рис.8.

4. Если то общее решение имеет вид

.

Если из двух уравнений и исключить то получим семейство параллельных прямых:

.

4а) Если имеем устойчивую неасимптотическую точку покоя.

Рис.9.

4б) Если неустойчивая точка покоя.

Рис.10.

Классификация точек покоя при носит более сложный характер.

Например, пусть при решении кубического характеристического уравнения один из корней отрицателен и два других комплексно сопряжены с отрицательной действительной частью. Тогда интегральные кривые в окрестности точка покоя носят характер винтообразной спирали, направленной к точке покоя.

Устойчивость нулевого решения неоднородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема. Пусть дана система дифференциальных уравнений