Математическая постановка (модель) задачи скалярной оптимизации

Удовлетворенческая (ограничительная) математическая модель (схема) оптимизации

Решение считается оптимальным, если оно удовлетворяет множеству недублирующих друг друга условий, выраженных математически в виде формул, неравенств, логических выражений, а также алгоритмов.

Один из вариантов данной схемы оптимизации можно представить в следующем виде:

здесь х₁, х₂, ... х_n – искомые переменные задачи

их можно записать:

f₁(^.), f₂(^.), … f_n(^.)

х₁* х₂* – заданные пределы изменения искомых переменных х_i

= {>, <, =, ≥, ≤}

Достоинства данной мат схемы: простота, наличие прикладных алгоритмов и компьютерных программ.

Недостатки: неполнота информации об интервалах значений от х₁* до х₂*, чувствительность к изменению исходных данных, отсутствие в данной схеме критерия оптимума, грубость в решении задачи.

Рассмотрим конкретный пример применения модели удовлетворенческой оптимизации.

Способы оперативного раскроя со второго проката на непрерывном стане.

Упрощено отобразим схему прокатного стана

НП – нагревательная печь;

Н1, Н2 – ножницы аварийные;

ЛН1, ЛН2 – летучие ножницы;

НХР1, НХР2 – ножницы холодной резки;

Х1, Х2 – холодильники.

К полученным готовым пруткам предъявляются следующие требования:

а) соблюдение условия кратности полос по длине готовых прутков;

б) обеспечение максимальной длины полосы, но не более чем длина холодильника;

в) ограниченность снизу длины кольцевой полосы l^п_min = U * τ_к , где τ_к – длительность срабатывания холодильника.

В зависимости от того с какой степенью удовлетворяются условия а, б и в различают несколько типов удовлетворенческого раскроя:

1. равномерный раскрой – раскат делится на одинаковое число полос равной длины, при этом удовлетворяется условие l_min;

2. раскрой на крат – в начале часть полос берется максимально допустимой длины кратной заданному прутку. Затем отделяется полоса отличающася от первой на целое число крат. Затем концевая полоса произвольной длины, но больше чем l_min. Данный алгоритм удовлетворяет условию а, в и частично б;

3. универсальный алгоритм (удовлетворяет всем 3 условиям).

Решение считается оптимальным, если оно удовлетворяет множеству ограничений (выделяющих область допустимых решений (ОДР))

Решение считается оптимальным, если оно удовлетворяет множеству решений и обеспечивает множество значений заданного критерия оптимальности.

Критерий оптимальности (показатель качества, целевая функция, функция предпочтения, функция полезности, функция потерь и др.) есть функция или функционал (функция от функции), наибольшее или наименьшее значение которого указывает на оптимум.

Q Q → max Q

A

х_opt

Критерии оптимальности могут быть технические (кпд, масса, удельный расход сырья и тд), экономические (прибыль, рентабельность, затраты), экологические, критерии безопасности.

Данной математической схеме соответствуют различные математические варианты, практические задачи, которые рассматриваются и решаются теорией скалярной (однокритериальной) оптимизации.

В обобщенном статическом варианте задачу скалярной оптимизации можно записать следующим образом:

Q = Q (A, E, X) → extr

при выполнении условий:

F_j (X, E, C) B_j; j=1,m;

где х = {x₁, x₂, x₃, ... x_n}, x_j < Ω_x;

E = {l₁, l₂, l₃, ... l_n};

A = {a₁, a₂, a₃, ... a_n} – вектор коэффициентов персонала;

B = {b₁, b₂, b₃, ... b_n} – вектор коэффициентов неравенств;

C = {с₁, с₂, с₃, ... с_n} – вектор функций Fj от точки;

Ω_x – область допустимых значений вектора_.

В динамическом варианте задачу скалярной оптимизации можно представить на примере управления динамическим объектом.

S(∙)

Определить непрерывность вектор-функцию U(t), Y(t), что обеспечивают минимум критерия при выполнении ограничений:

– ограничение I рода;

- ограничения II рода;

Ω – заданные области значений переменных.

y

Ω_ywT

Ω_y0

t

y

Ω_u0 t

t_o t₀+T

F (Y, U, t) – функция, учитывающая, например, расход топлива на управление.

Q max=super

max

int min

В зависимости от наличия или отсутствия задачи факторов неопределенности Е она относится к одному из следующих 3 видов:

а) задача оптимизации в условиях определенности – вектор Е=Ø;

б) задачи оптимизации в условиях риска. При этом считается, что известен закон распределения вероятностей для вектора Е или для функции некоторого вектора;

в) задачи оптимизации в условиях неопределенности. Здесь предполагается, что известен интервал возможных значений вектора Е.

В зависимости от характера критерия оптимальности, ограничений Q(∙), I(∙). В зависимости от характера искомых переменных Х, Y различают следующие множества задач скалярной оптимизации:

· задачи линейного программирования

· задачи нелинейного программирования

· задачи динамического программирования

· задачи целочисленного программирования

· задачи стохастического программирования

· и др.

Рассмотрим достоинства и недостатки задач скалярной оптимизации.

К числу достоинств оптимизации относятся:

· относительная простота;

· наличие разработанных и испытанных методик;

· наличие прикладных пакетов программ.

К недостаткам данной математической схемы оптимизации относятся:

· чувствительность к нарушению предпосылок (условий правильного применения);

· данная схема не работает при наличии многих критериев оптимизации;

· данная схема не охватывает слабо характеризованные задачи, требующие участия человека.