Свойства кривой распределения для случайных величин

1. Кривая распределения симметрична.
2. Точки перегиба кривой распределения находятся на оси абсцисс .
3. Вероятность того, что погрешности не выйдут за пределы , составляет .
4. Вероятность того, что погрешности не выйдут за пределы , составляет .
5. Вероятность того, что погрешности не выйдут за пределы , составляет .
6. Вероятность того, что погрешности не выйдут за пределы , составляет .
7. Вероятность того, что погрешности не выйдут за пределы , составляет .
8. При нормальном законе распределения погрешность в среднем может встретиться 1 раз на каждые 3 измерения.
9. При нормальном законе распределения погрешность в среднем может встретиться 1 раз на каждые 22 измерения.
10. При нормальном законе распределения погрешность в среднем может встретиться 1 раз на каждые 370 измерений.
11. При нормальном законе распределения погрешность в среднем может встретиться 1 раз на каждые 157870 измерений.
12. При нормальном законе распределения погрешность в среднем может встретиться 1 раз на каждые 1743983 измерений.

Рис. 1.2. Нормальный закон распределения погрешности измерений (а) и случайной составляющей погрешности измерений (б).

В практической деятельности часто используют свойства нормального закона (рис. 1.2). Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со среднеквадратическим отклонением часто пользуются доверительным интервалом от —3 до +3 , для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что при наблюдениях в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3 . Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем 3 , маловероятное событие, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению 3 (правило «трех сигм»). Отсюда же исходит и «правило шести сигм» (интервал от -3 до +3 равен 6 ), применяемое в Всеобщем управлении качеством (TQM).

Интервалы шире чем ±3 , как правило, применяют очень редко, так как это считается излишним, однако, например, в технике грузовые устройства (краны, гаки) рассчитываются с четырехкратным запасом прочности.

Распределение Стьюдента, (t-распределение). Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, с плотностью распределения вероятностей

,

где с параметром ;

Г – гамма – функция.

Распределение Стьюдента с возрастанием числа степеней свободы стремится к нормальному закону. Функция табулирована.

Данный закон распределения широко используется при обработке результатов многократных измерений.

Равномерный закон распределения. Если погрешность измерений с одинаковой вероятностью может принимать любые значения, не выходящие за некоторые границы, то такая погрешность описывается равномерным законом распределения. При этом плотность вероятности погрешности постоянна внутри этих границ и равна нулю вне этих границ. Равномерный закон распределения представлен на рис. 1.3. Аналитически он может быть записан так:

при ;

при ;

Рис. 1.3. Равномерный закон распределения

Трапециевидный закон распределения. Это распределение графически изображено на рис. 1.4, а. Погрешность имеет такой закон распределения, если она образуется из двух независимых составляющих, каждая из которых имеет равномерный закон распределения, но ширина интервала равномерных законов различна. Например, при последовательном соединении двух измерительных преобразователей, один из которых имеет погрешность, равномерно распределенную в интервале , а другой — равномерно распределенную в интервале , суммарная погрешность преобразования будет описываться трапециевидным законом распределения.

Треугольный закон распределения (закон Симпсона). Этораспределение (см. рис. 1.4, б) является частным случаем трапециевидного, когда составляющие имеют одинаковые равномерные законы распределения.

Рис. 1.4. Трапециевидный (а) и треугольный (б) законы распределения