Законы распределения случайных величин

В метрологии при измерениях все наблюдаемые величины являются случайными и могут иметь самые различные законы распределения. Однако наиболее распространенными при обработке результатов наблюдений являются нормальный закон Гаусса и закон распределения Стьюдента, при разработке цифровых систем приборов используется квантование сигналов, в котором применяется треугольный и равномерный законы распределения, при измерении природных явлений, применяя теорию массового обслуживания, используется биномиальное распределение и т.п. Мы опишем только наиболее распространенные, отсылая к специальной литературе по теории вероятности и математической статистике (ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534.1-93)).

Нормальное распределение Гаусса. Закон нормальное распределение Гаусса занимает особое положение в теории вероятности, математической статистике и теории обработки результатов измерений. Он широко применяется в физике. Этому закону распределения подчиняются многие природные явления и процессы. Он является также предельным – к нему стремятся многие другие законы распределения при возрастании числа измерений.

Плотность распределения случайной величины при нормальном распределении Гаусса выражается в виде:

где - математическое ожидание ( );

- стандартное отклонение (СКО);

- дисперсия ( ).

Скос и эксцесс равны нулю:

.

Интеграл вероятности имеет вид:

Стандартное нормальное распределение. Если заменить переменные (т.е. их пронормировать и заменить) - стандартизованная случайная величина, то получим стандартное нормальное распределение с плотностью распределения в виде

а интеграл вероятности Гаусса преобразуется, и будет иметь вид

Функция табулирована [41], если таблица приведена для интеграла

,

(её иногда называют функцией Лапласа), то в этом случае

.

Примечание. При пользовании таблицами для избегания ошибок вычислений следует обращать внимание на то, для какой функции они составлены (на интеграл).

Для стандартного нормального распределения

.

Стандартное нормальное распределение обозначают символом N(0, 1) и называют: нормированное нормальное распределение, стандартное распределение Лапласа-Гаусса (ГОСТ Р 50779.10-2000 ).

Связь с интегралом ошибок. Интегралом ошибок называют функцию

Интеграл ошибок у нас в стране распространения не получил, но за рубежом имеет применение.

Интеграл вероятности Гаусса связан с интегралом ошибок следующим соотношением:

В литературе нормальный закон называют по-разному:

- нормальный закон Гаусса,

- Гауссовское распределение,

- второй закон Лапласа,

- Лаплассовское распределение,

- нормированная функция Лапласа,

- распределение Гаусса-Лапласа,

- распределение Лапласа-Гаусса (ГОСТ Р 50779.10-2000 ).

Нормальный закон распределения для погрешностей. Плотность нормального закона распределения для погрешностей имеет вид: