Отношение порядка на множестве натуральных чисел. Свойства множеств натуральных чисел

Натуральное число а<b тогда и только тогда, когда существует нат.число с такое, что а+с= b. Данное определение позволяет переформулировать четвёртую аксиому Пеано- аксиому индукции- ледующим образом: в любом непустом подмн.М мн.N нат.чисел есть наименьшее число. Отношение «меньше» на мн.нат.чисел обладает св-ми: 1.(∀ а, b, с ∈N)а< b и b<с, то а<с –транзитивность. Док-во транзитивности отношения «меньше». Если а< b и b<с, то по определению отношения «меньше» существуют такие нат.числа k1 и k2, что верны равенства b=а+k1 и с= b+k2. Рассмотрим число с: с= b+k2=(а+k1)+k2 =а+(k1+ k2). Так k1и k2 натуральные числа, то число k1+ k2 также натуральное. Тогда из последнего равенства по определению отношения «меньше» а<с. 2. (∀а,в ∈N) а<в=>в>а –асимметричность.Док-во асимметричности отношения «меньше» выполним методом от противного. Пусть а<в и в<а. Тогда по св-ву транзитивности а<а. Но это значит, что а=а+k, где k∈N. Полученное равенство противоречит св-ву сложения (для любых нат.чисел а и в их сумма а+в≠а). Значит, сделанное предположение неверно. Следовательно, нат.чисел а ив, для которых верно а<в и в<а, не существует. 3.Покажем, что это отношение обладает свойством связности (∀а,в∈N) либо а<в, либо в<а) ,т.е.что для любых двух различных нат.чисел а,в выполняется одно из двух соотношений: либо а<в, либо в<а. Док-во: возьмём мн.М={а,в}. По аксиоме 4 в этом мн.должен быть наименьший элемент. Если этим элементом яв-ся а, то а<в. Если же наименьшим элементом яв-ся в, то в<а. 4.(∀а∈N) - антирефлексивность. Таким образом, отношение «меньше» на мн.N нат.чисел яв-ся отношением строгого линейного порядка, а мн.N нат.чисел яв-ся линейно упорядоченным множеством. Сложение нат.чисел обладает св-ми монотонности и сократимости. Монотонность: (∀а,в,с∈N) а<в=> а+с<в+с. Док-во: если а<в, то по определению отношения «меньше» существует нат.число k, для которого в=а+k. Тогда в+с=(а+k)+c= a+(k+c)= (a+c)+k. А это означает, что а+с<в+с. Сократимость: (∀а,в,с∈N)а+с=в+с=> а=в. Док-во: возможны три случая: а<в,в<а или а=в. Если а<в, то а+с< в+с, а по условию а+с=в+с. Значит, случай а<в невозможен. По этойже причине невозможен случай в<а. Остаётся единственная возможность: а=в. Cв-ва мн.нат.чисел: 1.Существование наименьшего элемента: во мн.N нат.чисел существует наименьшее число. Это число обозначают символом 1 и называют единицей. Так как 1-наименьшее число во мн.N, то для любого нат.числа а, не равного 1, выполняется неравенство 1<а. 2.Св-во дискретности мн.N: для любого числа а∈N не существует нат.числа п такого, что а<п<а’. Док-во (методом от противного). Предположим, что существует такое число п, что выполняются обо неравенства: а<п и п<а’. Если а<п, то по определению отношения “меньше” п=а+k, где k∈N. Так как число k натуральное, то 1≤k. Прибавим к обеим частям данного неравенства число а, получим: а+1≤а+k. Так как а+k=п, то а+1≤п или а’≤п. Это противоречит условию, что п<а’. Значит, предположение неверное, а верна теорема. Дискретность мн.N доказана. (пример между числами 4 и 5 нет других нат.чисел.). 3.Мн.N нат.чисел бесконечное,т.е.во мн.N не существует наибольшего числа. Док-во(методом от противного): пусть а= наибольшее число. Прибавим к нему 1, получим число а+1=а’. А так как а’>а, то получили число а` больше наибольшего числа а. Значит, а не наибольшее. Таким образом, мн.N нат.чисел обладает св-ми: оно бесконечное, дискретное, линейно упорядоченное, счётное, в нём имеется наименьшее число.