Аксиомы Пеано.Метод математической индукции

где − число степеней свободы

Аксиомы Пеано.Метод математической индукции

1.во мн. N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. 2. Для каждого элемента а из мн.N существует единственный элемент а’,непосредственно следующий за а. 3.для каждого элемента а из мн.N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

4.если подмн.М мн.N содержит число 1 и из того, что элемент а €М, следует, что и элемент аˊ€М, то мн.М совпадает с мн.N. Мн.N, удовлетворяющее аксиомам 1-4, называют мн.нат.чисел, а элементы мн.N называют нат.числами.4 аксиому называют аксиомой индукции. Метод матем.индукции- это метод док-ва, основанный на принципе матем.индукции и применяемый для утверждений вида Р(п). Принцип: если утверждение Р(п) с переменной п истинно для п=1 и из того, что оно истинно для произвольного числа п=k, следует, что оно истинно и для следующего за ним числа п= k+1, то утверждение Р(п) истинно для любого натурального числа п. Док-во м.матем.нндукции состоит из трёх частей: 1.проверяют истинность утверждения Р(п) при п, равном 1, то есть проверяют Р(1). 2.предполагают истинность утверждения Р(п) при п, равном k, то есть предполагают истинность Р(k). 3.на основании предположения доказывают истинность утверждения при п= k+1, то есть доказывают истинность импликации Р(k)=>Р(k+1). Вывод: утверждение Р(п) истинно для любого натурального п.

П:док-ть, что для любого натурального числа п верно равенство 1+2+3+…+(2п-1) =п². Док-во: при п=1 равенство имеет вид 1=1². Оно верное. Предположим, что при п= k верно следующее равенство: 1+2+3+ …+ (2 k-1) = k². На основании предположения докажем, что при п= k+1 будет верным равенство: 1+2+3+ ..+(2 k-1)+ (2(k+1)-1) =( k+1)². Преобразуем левую часть равенства и покажем, что она совпадает с правой частью. В самом деле, по предположению сумма 1+2+3+ …+ (2 k-1) равна k², тогда левая часть равенства будет иметь вид: k²+2(k+1)-1 = k²+ 2 k+1= (k+1)^2. Видим, что левая и правая части равенства совпадают. Таким образом, из предположения о верности данного равенства при п= k доказана верность его при п= k+1. Следовательно, на основании принципа матем.индукции данное равенство верно при любом натуральном п.

Аксиоматическое определение умножения натуральных чисел. Закон умножения. Таблица умножения.

Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определённая на мн.N нат.чисел, ставящая в соответствие каждой паре (а,b) число а *b, удовлетворяющее свойствам (аксиомам): 1. (∀a є N)a∙1 = a; 2. (∀ а,b є N) а∙b' = а∙b + а. Число a∙b называется произведением чисел а и b, а сами числа аиb– множителями. Теорема 1. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно. Пользуясь определение операции умножения, составим таблицу умножения однозначных нат.чисел. а)1×1=1; 2×1=2; 3×1=3; 4×1=4 и т.д. (на основании св-ва 1); б)1×2=1×1’=1×1+1= 1+1=2; 2×2=2×1’= 2×1+1= 2+1=3; 3×2=3×1’= 3×1+1= 3+1=4 и т.д.(на основании св-ва 2).Теорема 2. (∀a,b,с є N)(а+b)∙с = а∙с + b∙c. Доказательство. Пусть натуральные числа а и b вы¬браны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых верно равенство (а + b)с = а∙с + b∙c. Покажем, что для с=1 верно равенство (а + b)∙1 = а∙1 + b∙1 Действительно, (a + b)∙1 =a+b=a∙1 + b∙1. Пусть дистрибутивный закон выполняется для произвольно выбранного числа с,т.е.равенство (а+b)∙с = а∙с + b∙c истинно. На основании предположения докажем справедливость равенства: (а + b)∙с' = а∙с' + b∙c' для числа с'. Рассмотрим левую часть равенства и покажем, что она равна правой: (а + b)∙с' = (а + b)∙c + (а + b)=(а∙с+b∙с)+ (а+b)= (а∙с+а)+(b∙с+b)= а∙с’+b∙c’. Данное равенство (а + b)∙с = а∙с + b∙c истинно для любого нат.числа с, а так как числа а и b выбирались произвольно, то это равенство справедливо и для любых а и b. Анологично доказывается левый дистрибутивный закон умножения: (∀а,b,с є N)а ∙(b+с)= а∙b+а∙с. Теорема 3. (∀ а,b,с є N)( а∙b) ∙с= a∙(b ∙с).-ассоциативна. Теорема 4. (∀a,b є N) a∙b = b∙a.- коммуникативна. Операция умножения удовлетворяет двум законам: ab = bа (коммутативный закон умножения), а(bс) = (аb)с (ассоциативный закон умножения). Имеется также закон, связывающий сложение и умножение: а(b + с) = ab + ас (дистрибутивный закон).

Умножение целых неотрицательных чисел в количественной теории. Законы умножения.

Произведением целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотриц.число а*в, удовлетворяющее условиям: 1) а*в=⏟(а+а+⋯+а)┬(в слагаемых) при в>1; 2)а*1=а, при в=1; 3)а*0=0, при в=0. П: по определению 5 имеем: 4*6=4+4+4+4+4+4=24. Действие нахождения произведения называется умножением, а числа а и в называются множителями. Произведение целых неотриц.чисел а и в есть число элементов декартова произведения мн.А и В, где а=п(А), в=п(В), т.е.а*в=п(АхВ), где а=п(А), в=п(В). Во мн.целых неотриц.чисел N0 операция умножения обладает св-ми коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Коммутативность: (∀а, в ∈N0) а*в=в*а. Док-во: пусть а=п(А) и в=п(В). По определению произведения а*в=п(АхВ). Мн.АхВ и ВхА не равны,т.к.не равны пары чисел (а;в) и (в;а), но АхВ и ВхА яв-ся равномощными. Тогда а*в=п(АхВ)= п(ВхА)= в*а. Значит, а*в=в*а. Ассоциативность: (∀а,в,с∈N0) (а*в)*с= а*(в*с). Док-во: пусть а=п(А), в=п(В), с=п(С). По определению произведения (а*в)*с= п((АхВ)хС), а*(в*с)= п(Ах(ВхС)). Мн.(АхВ)хС и Ах(ВхС) не равны, но яв-ся равномощными. Потому п((АхВ)хС)= п(Ах(ВхС)). Следовательно, (а*в)*с=а*(в*с). Дистрибутивность: (∀а,в,с∈N0) (а+в)*с= а*с+в*с. Док-во: пусть а=п(А), в =п(В), с=п(С). По определению произведения (а+в)*с= п((А∪В)хС); а*с+в*с= п((АхС)∪(ВхС)). На основании св-ва дистрибутивности декартова произведения мн.имеем: (А∪В)хС= (АхС)∪(ВхС). Из этого вытекает, что мощность мн.(А∪В)хС и (АхС)∪(ВхС) тоже равны,т.е.п((А∪В)хС)= п((АхС)∪(ВхС)). Следовательно, (а+в)*с= а*с+в*с. П: 97*5=(90+7)*5=90*5+7*5=450+35=485. Законы: 1.переместительный: для любых целых неотриц.чисел а и в справедливо равенство а*в=в*а. 2.сочетательный: для любых целых неотриц.чисел а, в,с справедливо равенство (а*в)*с= а*(в*с). 3.распределительный закон умножения относительно сложения: для дюбых целых неотриц.чисел а,в,с справедливо равенство (а+в)*с= ас+вс. 4.распределительный закон умножения относительно вычитания: для любых целых неотриц.чисел а,в и с и а≥в справедливо равенство (а-в)с=ас-вс.