Проверка статистических гипотез

Определение. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Определение. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу

Определение. Статистическим критерием называют случайную величину которая служит для проверки гипотезы.

Определение. Наблюдаемым (эмпирическим) значение называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.

Определение. Областью принятия гипотезы (область допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых принимают нулевую гипотезу.

Определение. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Основной принцип проверки гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают.

Проверка гипотезы о нормальном распределении

генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот (табл. 3.12):

Таблица 3.12

Закон распределения дискретной случайной величины

			…
			…

Алгоритм применения критерия Пирсона

1. Выдвигают нулевую гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины X и находят его параметры и по формулам (3.38) и (3.33) соответственно.

2. Определяют теоретические частоты соответствующие опытным частотам Если среди опытных частот имеются малочисленные, то их необходимо объединить с соседними. Интервалы после объединения будем обозначать ( ]. Число интервалов должно быть не менее 4-х. Если случайная величина X непрерывна, то

где − объем выборки (сумма всех частот);

− шаг (разность между двумя соседними вариантами);

вычисляют следующим образом:

(3.49)

Значения находят из таблицы приложения 1.

3. Вычисляют наблюдаемое значение критерия:

(3.50)

4. Находят по таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы − число групп выборки) находят критическую точку правосторонней критической области.

5. Если то гипотезу о нормальном распределении выборки принимают; если то гипотезу о нормальном распределении выборки отвергают.

Пример 3.59. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки (табл. 3.13) объема

Таблица 3.13

Закон распределения дискретной случайной величины

Используя формулы (3.38) и (3.33), найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение

Вычислим теоретические частоты, учитывая, что по формуле (3.41):

Составим расчетную таблицу 3.14.

Таблица 3.14

Расчетная таблица

		−1,62	0,1074	9,1		34,81	3,8
		−1,20	0,1942	16,5		90,25	5,5
		−0,77	0,2966	25,3		0,09	0,0
		−0,35	0,3752			4,00	0,1
		0,08	0,3977	33,9		62,41	1,8
		0,51	0,3503	29,8		77,44	2,6
		0,93	0,2589			4,00	0,2
		1,36	0,1582	13,5		42,25	3,1
		1,78	0,0818			36,00	5,1
∑

По таблице критических точек распределения (приложение 5) по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку правосторонней критической области:

Поскольку − гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем, т. е. эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Таблица значений функции Гаусса
X
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9										055I
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Таблица значений функции Лапласа

Таблица значений(распределение Пуассона)

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
	0,9018	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5458	0,4966	0,4493	0,4066
	0,0905	0,1638	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293	0,3476	0,3595	0,3659
	0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988	0,1217	0,1438	0,1647
	0,0002	0,0019	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198	0,0284	0,0383	0,0494
		0,0001	0,0002	0,0007	0,0016	0,0030	0,0050	0,0077	0,0111
				0,0001	0,0002	0,0004	0,0007	0,0012	0,0020
							0,0001	0,0002	0,0003
	0,3679	0,1353	0,0498	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0001	0,0000
	0,3679	0,2707	0,1494	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011	0,0005
	0,1839	0,2707	0,2240	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0050	0,0023
	0,0613	0,1804	0,2240	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0150	0,0076
	0,0153	0,0902	0,1680	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,0337	0,0189
	0,0031	0,0361	0,1008	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607	0,0378
	0,0005	0,0120	0,0504	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,0911	0,0631
	0,0001	0,0037	0,0216	0,0595	0,1044	0,1377	0,1490	0,1396	0,1171	0,0901
		0,0009	0,0081	0,0298	0,0653	0,1033	0,1304	0,1396	0,1318	0,1126
		0,0002	0,0027	0,0132	0,0363	0,0688	0,1014	0,1241	0,1318	0,1251
			0,0008	0,0053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1186	0,1251
			0,0002	0,0019	0,0082	0,0225	0,0452	0,0722	0,0970	0,1137
			0,0001	0,0006	0,0034	0,0126	0,0263	0,0481	0,0728	0,0948
				0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504	0,0729
				0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324	0,0521
					0,0002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194	0,0347
						0,0003	0,0014	0,0045	0,0109	0,0217
						0,0001	0,0006	0,0021	0,0058	0,0128
							0,0002	0,0009	0,0029	0,0071
							0,0001	0,0004	0,0014	0,0037
								0,0002	0,0006	0,0019
								0,0001	0,0003	0,0009
									0,0001	0,0004
										0,0002
										0,0001

Таблица значений q = q(g, n)

Таблица критических точек распределения

где − число степеней свободы