Числовые характеристики дискретных случайных величин

Дискретная случайная величина задана законом распределения, представленным в таблице 3.8.

Таблица 3.8

Закон распределения дискретной случайной величины

			…
			…

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины и соответствующих им значений вероятности:

(3.23)

Если дискретная случайная величина принимает бесконечное счетное множество значений, то математическое ожидание представляет собой ряд:

(3.24)

В этом случае математическое ожидание существует, если ряд, представленный в правой части равенства (3.24), сходится абсолютно.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Характеристиками рассеяния значений дискретной случайной величины вокруг математического ожидания служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

(3.25)

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

(3.26)

где (3.27)

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:

(3.28)

Пример 3.43. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , закон распределения которой представлен в виде таблицы 3.9.

Таблица 3.9

Закон распределения дискретной случайной величины

	−5
	0,4	0,3	0,1	0,2

Математическое ожидание найдем по формуле (3.24):

Дисперсию вычислим по формуле (3.26), для этого найдем по формуле (3.27):

Далее найдем дисперсию:

Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле (3.28):

Пример 3.44. Найти математическое ожидание случайной величины если математические ожидания случайных величин и соответственно равны и

Используя свойства математического ожидания 2 (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания) и 4 (математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых) получим:

Пример 3.45. Случайные величины и независимы. Найти дисперсию случайной величины если

Так как случайные величины и независимы, то также независимы случайные величины и

Используя свойства дисперсии 2 (постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат) и 3 (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим: