Комбинаторику используют только для решения вероятностных задач с равновозможными исходами, т. е. в рамках классического подхода к понятию вероятности.
Пример 3.24. В урне 5 белых и 4 черных шара. Найти вероятность события: A – вытащить наугад белый шар, B – вытащить наугад два белых шара, C – вытащить наугад один белый и один черный шар, D – два шара одного цвета.
Число всех элементарных исходов при вытаскивании из урны наугад одного шара равно 9 или − числу сочетаний из девяти элементов по одному, т. к. всего шаров в урне 9 и выбрать один из них можно девятью способами. Благоприятствующих событию A исходов – пять или , поскольку белый шар можно вытащить из 5 белых шаров, следовательно, имеем:
Число всех элементарных исходов при вытаскивании из урны наугад двух шаров из 9 равно − числу сочетаний из девяти элементов по два. Учитывая, что число благоприятствующих событию B исходов соответственно равно , получим:
При нахождении вероятности события C – вытащить наугад один белый и один черный шар, число всех элементарных исходов также равно . Число благоприятствующих событию C исходов найдем используя правило произведения комбинаторики. Множество белых шаров содержит пять элементов, а множество черных – четыре, тогда число пар, образованных из элементов этих множеств, равно произведению количества элементов в этих множествах, т. е. Тогда вероятность события C равна:
Теперь найдем вероятность события D – вытащить два шара одного цвета, которое состоит в выборе наугад двух белых или двух черных шаров. Число всех элементарных исходов по прежнему равно . Используя правило суммы комбинаторики, получим, что число благоприятствующих событию D исходов равно , т. к. число способов выбора двух элементов из множества, содержащего пять элементов или из множества, содержащего четыре элемента (множества не пересекаются), равно сумме числа способов выбора двух элементов из каждого множества. Число всех элементарных исходов по прежнему равно . Учитывая вышеизложенное, получим:
Пример 3.25.В опыте с бросанием двух игральных костей найти вероятности выпадений в сумме на верхних гранях U2 – двух очков, U3 – трех очков, U4 – четырех очков, …, U12 – двенадцати очков.
Используяправило произведения комбинаторики, найдем число всех элементарных исходов, учитывая, что множество исходов при бросании первой кости содержит шесть элементов и множество исходов при бросании второй кости также содержит шесть элементов. Тогда число пар, образованных из элементов этих множеств, равно произведению количества элементов этих множеств, т. е.
Учитывая, что событиям U2 и U12благоприятны по одному исходу – выпадение единиц на двух костях и соответственно выпадение шестерок на двух костях, найдем вероятности этих событий:
Событию U3 благоприятны два исхода: выпадение на первой кости единицы и на второй – двойки или выпадение на первой кости двойки и на второй – единицы, так как известно (3.8.), что при бросании двух и более костей (монет) они всегда считаются различимыми. Учитывая, что событию U11также благоприятны два исхода: выпадение на первой кости пятерки и на второй – шестерки или наоборот, получим:
Событию U4 благоприятны три исхода: выпадение на первой кости единицы и на второй – тройки или выпадение на первой кости тройки и на второй – единицы или выпадение двух очков и на первой и на второй костях. Заметим, что событию U10также благоприятны три исхода: выпадение на первой кости шестерки и на второй – четверки или выпадение на первой кости четверки и на второй – шестерки или выпадение пяти очков и на первой и на второй костях, следовательно, имеем:
Рассуждая аналогичным образом, получим:
Заметим, что событие, связанное с выпадением в сумме на верхних гранях двух игральных костей числа очков не менее двух и не более двенадцати является достоверным и его вероятность равна единице. Поскольку в каждом испытании одно из событий, состоящих в выпадении от двух до двенадцати очков включительно, обязательно произойдет, а суммарная вероятность рассматриваемых событий равна единице.
Для большей наглядности, представим полученные результаты в виде таблицы 3.4:
Таблица 3.4
Распределение очков в опыте
с бросанием двух игральных костей
Число очков
3.28. В опыте с бросанием двух игральных костей найти вероятность выпадения в сумме на верхних гранях:
а) менее трех очков;
б) более девяти очков;
в) более четырех и менее десяти;
г) хотя бы девяти очков.
3.29. Числа от 1 до 100 записывают на отдельных одинаковых карточках, помещают их в вазу и тщательно перемешивают. После этого наугад извлекают одну карточку. Найти вероятность события:
а) на карточке написано число, делящееся на 3;
б) на карточке написано число, делящееся на 3 и на 5;
г) на карточке написано число больше 90;
д) на карточке написано число больше 10 и меньше 20;
е) на карточке написано число, делящееся на 5, но не делящееся на 7.
Существует ли событие, связанное с этим опытом, вероятность которого равна 0,11? Если да, то какое это событие?
3.30. В урне 6 белых, 7 черных и 3 красных шаров. Найти вероятность события: A – вытащить наугад красный шар, B –вытащить наугад три шара разного цвета, C – вытащить наугад три шара так, чтобы хотя бы один шар был белым, D – вытащить наугад три шара так, чтобы два шара были белыми и один черный.
3.31. В урне 5 белых, 3 черных и 8 красных шара. Найти вероятность события: A – вытащить наугад черный шар, B – вытащить наугад три шара разного цвета, C – вытащить наугад три шара так, чтобы хотя бы один шар был красным, D – вытащить наугад три шара так, чтобы два шара были белыми и один красный.
3.32. Известно, что среди 15 книг имеется 5 бракованных, внешне не отличимых от доброкачественных. Наугад выбирается 5 книг. Найти вероятность события:
а) все 5 книг доброкачественные;
б) все 5 книг бракованные;
в) среди выбранных 5 книг ровно 2 бракованные;
г) среди выбранных 5 книг не более двух бракованных;
д) среди выбранных 5 книг не менее двух бракованных;
ж) среди выбранных 5 книг хотя бы три доброкачественные;
з) среди выбранных 3 книг по крайней мере две доброкачественные;
и) все выбранные 4 книги доброкачественные или бракованные.
− числу сочетаний из девяти элементов по одному, т. к. всего шаров в урне 9 и выбрать один из них можно девятью способами. Благоприятствующих событию A исходов – пять или 
, поскольку белый шар можно вытащить из 5 белых шаров, следовательно, имеем:
− числу сочетаний из девяти элементов по два. Учитывая, что число благоприятствующих событию B исходов соответственно равно 
, получим:
Тогда вероятность события C равна:
, т. к. число способов выбора двух элементов из множества, содержащего пять элементов или из множества, содержащего четыре элемента (множества не пересекаются), равно сумме числа способов выбора двух элементов из каждого множества. Число всех элементарных исходов по прежнему равно 
