Алгебра событий

Определение.Суммой событий A и B (A + B) называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A или B.

Разъяснить смысл операции суммы событий можно с помощью таблицы 3.1, в которой знак «+» обозначает наступление события, а «−» соответствует ситуации, когда событие не наступило.

Таблица 3.1

Сумма событий A и B

Операция суммы событий аналогична операциям объединения множеств и дизъюнкции.

Замечание. Операции суммы событий, как и операции объединения множеств, соответствует союз русского языка «или».

С помощью метода математической индукции операция суммы распространяется на любое число событий.

Определение.Суммой событий A₁, A₂, A₃,… , A_n называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A₁, или, A₂,или, A₃,или, …, или A_n.

Пример 3.12.Пусть событие A – попадание в цель первым стрелком, событие B – попадание в цель вторым стрелком. Что представляет собой событие, являющееся суммой этих событий? Что представляет собой событие, противоположное сумме событий A и B?

Суммой событий A и B является событие C, состоящее в попадании в цель хотя бы одним стрелком, т. е. событие C произойдет, если первый стрелок попадет в цель, а второй – не попадет в цель или второй стрелок попадет в цель, а первый – не попадет в цель или оба стрелка попадут в цель.

Событие, противоположное сумме событий A и B, произойдет тогда и только тогда, когда оба стрелка не попадут в цель, т. е. и первый стрелок не попадет в цель и второй стрелок не попадет в цель.

Пример 3.13.Пусть событие A – выпадение двойки на верхней грани игральной кости, событие B – выпадение четверки, C – выпадение шестерки. Что представляет собой событие, являющееся суммой этих событий? Что представляет собой событие, противоположное сумме событий A, B и C?

Суммой событий A, B и C является событие, состоящее в выпадении четного числа на верхней грани игральной кости.

Событие, противоположное сумме событий A, B и C, состоит в выпадении нечетного числа (единицы, или тройки, или пятерки) на верхней грани игральной кости.

Пример 3.14.Рассмотрим опыт с бросанием двух монет. Пусть событие A – выпадение орла и на первой монете и на второй монетах, событие B – выпадение решки на первой монете и орла на второй монете, C – выпадение орла на первой монете и решки на второй монете, D – выпадение решки и на первой и на второй монетах. Что представляет собой событие, состоящее в выпадении хотя бы одного орла?

Событие, состоящее в выпадении хотя бы одного орла, представляет собой сумму событий A, B и C, т. е. A + B + C.

Определение. Произведением событий A и B (A × B) называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события A и B.

Разъяснить смысл операции произведения событий можно с помощью таблицы 3.2, в которой знак «+» обозначает наступление события, а «−» соответствует ситуации, когда событие не наступило.

Таблица 3.2

Произведение событий A и B

Операция произведения событий аналогична операциям пересечения множеств и конъюнкции.

Замечание. Операции произведения событий, как и операции пересечения множеств, соответствует союз русского языка «и».

С помощью метода математической индукции операция произведения распространяется на любое число событий.

Определение.Произведением событий A₁, A₂, A₃,… , A_n называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят все события A₁, и A₂, и A₃, и …, и A_n.

Пример 3.15. Пусть событие A – попадание в цель первым стрелком, событие B – попадание в цель вторым стрелком. Что представляет собой событие, являющееся произведением событий A и B? Что представляет собой событие, противоположное произведению событий A и B?

Произведением событий A и B является событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда оба стрелка попадают в цель, т. е. и первый стрелок и второй стрелок попадут в цель.

Событие, противоположное произведению событий A и B, произойдет тогда и только тогда, когда хотя бы один стрелок не попадет в цель, т. е. событие произойдет, если первый стрелок попадет в цель, а второй – не попадет в цель или второй стрелок попадет в цель, а первый – не попадет в цель или оба стрелка не попадут в цель.