Частные производные 2-го порядка. Исследование функции на экстремум

1. Найти частные производные , и решить систему уравнений

Решениями системы будут критические точки функции.

2. Найти частные производные 2-го порядка.

3. Для каждой критической точки вычислить определитель

Если ∆ > 0, то критическая точка является точкой максимума/минимума функции при условии < 0/ > 0.

Если ∆ < 0, то критическая точка не является точкой экстремума.

Если ∆ = 0, то требуется дополнительное исследование (изучается вопрос о знакопостоянстве функции в окрестности критической точки).

4. Вычислить экстремумы функции, подставив координаты точек экстремумов в уравнение z = z(x, y).

Пример 2.10.

Производятся два вида товаров, в количествах х ед. и y ед. Пусть 8 и 10 ден. ед. – цены на эти товары соответственно, а S = x² + xy + y² – функция затрат. Определить оптимальный выпуск товаров, при котором предприятие получит максимальную прибыль.

Решение.

Функция прибыли имеет вид:

П(х, y) = 8х + 10y – x² – xy – y².

Вычислим частные производные первого порядка:

П_х΄ = 8 – 2х – y, П_y΄ = 10 – х – 2y.

Найдем критические точки функции как решение системы уравнений

получаем точку (2; 4).

Найдем частные производные второго порядка:

= –2, = = –1, = –2.

Так как и = –2 < 0, то в точке (2;4) функция прибыли имеет максимум: П_max = П (2; 4) = 28.

Следовательно, для получения максимальной прибыли в 28 денежных единиц необходимо произвести 2 ед. товара первого вида и 4 ед. – второго вида.

2.74. Исследовать функцию на экстремумы:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

2.75. Производственная функция (в ден. ед.) имеет вид где х и у – количество ед. соответственно 1-го и 2-го ресурсов. Стоимость ед. первого ресурса – 5, а второго – 10 (ден. ед.). Найти максимальную прибыль при использовании этих ресурсов.

2.76. Как распределить сумму в $10 млн между тремя компаниями так, чтобы их суммарная прибыль была наибольшей, если прибыль каждой определяется соответственно по формуле: где – инвестируемая сумма?

2.77. Исследовать функцию на экстремумы и найти наименьшее и наибольшее значения в заданной области:

1) АВО: А(–5; 0), В(0;–5), О(0; 0);

2) АВС: А(2; 0), В(0; 2), С(0;–2).

2.78. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длин ребер а, найти параллелепипед, имеющий наибольший объем.