Направляющие косинусы вектора.

Пусть вектор образует с осями координат , и углы и соответственно, т.е. , и .

Числа и называются направляющими косинусами вектора и определяют его направление.

Запишем равенства:

,

,

.

Из этих равенств получили два важных вывода:

1. , и .

2. , и , т.е. координаты вектора равны проекциям вектора на координатные оси и соответственно.

Найдем значение выражения :

,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна 1.

.

,

следовательно, направляющие косинусы вектора являются координатами его соответствующего орта , т.е. .

Некоторые приложения скалярного произведения векторов.

1. Угол между векторами.

Угол между векторами и находится по формуле

или .

2. Проекция одного вектора на направление другого вектора.

Проекция вектора на направление вектора находится по формуле

или .

3. Работа постоянной силы.

Из курса физики известно, что работа постоянной силы при прямолинейном перемещении материальной точки равна , где .

Таким образом, , т.е. работа постоянной силы при прямолинейном перемещении материальной точки численно равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения .

Контрольные вопросы:

1. Какой угол принимается за угол между векторами? Как обозначается угол между векторами?

2. Какой угол принимается за угол между вектором и осью? Как обозначается угол между вектором и осью?

3. Что называется проекцией вектора на ось? Как обозначается проекция вектора на ось?

4. Какие основные свойства проекции вектора на ось Вам известны?

5. Что называется скалярным произведением векторов?

6. Какие свойства скалярного произведения векторов Вам известны?

7. Как скалярное произведение векторов выражается через координаты этих векторов?

8. Что называется направляющими косинусами вектора? Как найти направляющие косинусы вектора?

9. Какой формулой повязаны направляющие косинусы вектора между собой?

10. Какие приложения скалярного произведения векторов Вам известны?