Свойства волнового вектора электрона в кристалле. Зоны Бриллюэна.

Волновой вектор играет в задаче о движении электрона в периодическом поле кристалла такую же роль, какую играет волновой вектор в задаче о движении электрона. Состояние свободно движущегося электрона характеризуется энергией E и импульсом , при этом

Этому электрону соответствует волна де Бройля с длиной

u - скорость электрона, учитывая, что

волновой вектор пропорционален импульсу электрона. Энергия свободного электрона связана с соотношением

Если на электрон не действует никакая сила, то . Это означает, что не изменяется и остается постоянным импульс . По существу это закон сохранения энергии.

На электрон, движущийся в кристалле, действует периодическое поле кристаллической решетки. Энергия этого взаимодействия является периодической функцией координат. Следовательно, энергия и импульс электрона в кристалле изменяются со временем под действием этого поля, т.е. не сохраняются.

Пользуясь понятием волнового ветора , входящего в функцию Блоха, можно ввести характеристику, аналогичную импульсу, но сохраняющуюся во времени

Величина называется квазиимпульсом электрона

Если какая-либо величина сохраняется, то оператор этой величины коммутирует с оператором Гамильтона. Таким образом, квазиимпульсу должен соответствовать некоторый оператор , коммутирующий с гамильтонианом кристаллической решетки.

Следовательно, можно утверждать, что при движении электрона в периодическом поле решетки, собственные функции операторов должны быть одинаковы, а между значениями определенная функциональная связь.

Энергия электрона должна быть функцией квазиимпульса. Оператор не может иметь вид обычного оператора импульса , поскольку он не коммутирует с гамильтонианом решетки

С другой стороны, между гамильтонианом квазиимпульса и оператором импульса должна быть связь.

Если потенциальная энергия решетки постоянна т.е. , то в этом случае квазиимпульс переходит в импульс.

Оператор квазиимпульса

Для определения оператора

Тогда

Отсюда

Если

,

то в функции Блоха будет стремиться к некоторой константе. При этом и квазиимпульс превращается в импульс.

Волновой вектор электрона в кристалле, в отличие от волнового вектора свободного электрона неоднозначен. Рассмотри трансляционное уравнение, накладываемое на волновую функцию электрона, движущегося в периодическом поле решетки.

Условие не нарушается, если волновой вектор заменить на вектор

-вектор обратоной решетки.

Состояния характеризуемые векторами физически эквивалентны. Энергия электронов, находящихся в этих состояниях, одинакова.

Волновая функция и энергия электрона в кристалле являются периодическими функциями волнового вектора с периодом (или квазиимпульса ).

Если в -пространстве (или -пространстве) построить обратную решетку, растянутую в 2pраз, т.е. решетку с векторами , то все -пространство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния. Эти области называются зонами Бриллюэна. Многогранник минимального объема, построенный вокруг начала координат в -пространстве, содержащий все возможные различные состояния, называется первой или основной зоной Бриллюэна. С помощью обратной решетки, любую точку -пространства можно обратить в первую зону Бриллюэна. Первая зона Бриллюэна представляет собой элементарную ячейку Вигнера – Зейтца для обратной решетки, растянутой в 2pраз. Вторая зона строится аналогичным образом. В обратной решетке, параметры которой растянуты в 2p раз, выбранный при построении первой зоны Бриллюэна за начало отсчета узел, соединяют прямыми линиями с ближайшими эквивалентными узлами, но уже лежащими на поверхности второй координационной сферы. Затем строят плоскости, перпендикулярные этим прямым и проходящим через их середину. В результате получают вторую зону Бриллюэна в виде замкнутого многогранника.