Уравнение баланса тепла.

Применим закон сохранения энергии для математического описания процесса теплопередачи. Будем при этом считать, что внутренняя энергия вещества изменяется лишь благодаря механизму теплопроводности, т.е. другие виды энергии полагаем несущественными (например, пренебрегаем изменением внутренней энергии за счет химических реакций или за счет работы сил давления, сжимающих некоторый объем газа, и т.д.). Выделим в теплопроводной среде элементарный куб со сторонами (рис.3.1) и проведем подсчет изменения содержащейся в нем тепловой энергии за малый промежуток времени .

Рис. 3.1

По сделанным предположениям это изменение может быть вызвано лишь разностью потоков тепла, входящих и выходящих через разные грани куба. Так, потоки энергии вдоль оси приводят к уменьшению или увеличению внутренней энергии объема на величину

,

где – площадь грани, перпендикулярной оси . В этой формуле считается, что как функция времени не сильно изменяется за промежуток , и можно взять ее значение в момент . Точно таким же способом вычисляются изменения внутренней энергии по осям :

,

.

Суммарное изменение энергии есть

.

С другой стороны, величину можно выразить через изменение температуры объема и через его теплоемкость по формуле

,

в которой из-за малости объема берутся некоторые средние по нему значения температуры и плотности. Приравнивая два последних выражения друг к другу и устремляя к нулю, получаем общее уравнение, описывающее распространение тепла:

, (5)

имеющее в развернутой форме вид

, (6)

где .

Уравнение (6) нестационарное, трехмерное (функция зависит времени и трех пространственных переменных ) уравнение параболического типа. Оно неоднородное, т.е. теплоемкость, коэффициент теплопроводности и плотность могут быть, вообще говоря, разными в разных точках вещества, и нелинейное, поскольку функции и могут зависеть от температуры (т.е. искомого решения).

При дополнительных предположениях о характере процесса теплопередачи уравнение (6) может упрощаться. Так, если процесс стационарный, т.е. если температура не зависит от времени, то (6) превращается в уравнение эллиптического типа:

, (7)

а если функции не зависят от температуры, то (6) становится линейным параболическим уравнением, которое в случае однородной среды ( не зависят от ) принимает вид

, (8)

где величина называется коэффициентом температуропроводности. Для уравнения (8) относительно нетрудно выписать общее решение.

В одномерном случае (температура зависит лишь от и ) из (6) получаем

. (9)

Уравнение (9) сводится к уравнению типа нелинейной теплопроводности

, (10)

При допущении, что , . Наконец, если , , где - постоянные, то из (10) получается уравнение теплопроводности – простейшее уравнение параболического типа

. (11)

Как и случае уравнения Буссинеска, из основного уравнения (6) можно получить различные обобщения, соответствующие более сложным, чем рассмотренным выше, механизмам теплопередачи. Так, для неизотропной среды (т.е. когда коэффициенты теплопроводности разные по разным направлениям) с энерговыделением вместо (6) имеем

, (12)

где - коэффициенты в законе Фурье (3) по осям , а функция - мощность выделения (поглощения) энергии. Неизотропность, например, в случае электронной теплопроводности, может вызываться достаточно сильным магнитным полем, затрудняющим движение переносчиков тепла поперек силовых линий поля, а выделение энергии может связано с идущими в веществе химическими реакциями или протеканием электрического тока.

Вместе с заданными функциями и краевыми условиями полученные уравнения представляют собой замкнутые математические модели процесса теплопередачи.