Вывод закона Фурье из молекулярно-кинетических представлений.

Для получения математической модели теплопередачи необходимо, помимо вышеизложенных понятий, ввести важное понятие потока тепла. Потоком тепла (или тепловой энергией) в данной точке называется количество тепла, переносимое в единицу времени через единичную поверхность, помещенную в данную точку вещества. Очевидно, что потто тепла – векторная величина (поскольку она в общем случае зависит от ориентации единичной поверхности в пространстве).

Выделим в среде точку с координатами и вычислим компоненты потока тепла по соответствующим осям (величины , , ). Расположим площадку единичной величины (штриховая линия на рис. 2.1) перпендикулярно оси .

Рис. 2.1

Частицы, движущиеся вдоль оси , пересекают ее справа налево и слева направо с равной вероятностью. Однако если температуры частиц (а, следовательно, и их кинетические энергии) разную по правую и левую стороны площадки, то в единицу времени через нее справа и слева переносятся разные энергии. Разность этих энергий и формирует поток тепла вдоль оси . Выделим на рис. 2.1 области, отстоящие на расстоянии от площадки справа и слева. Из частиц, находящихся в правой области, примерно часть движется налево, так как все шесть направлений (вверх – вниз, вперед – назад, направо – налево) равновероятны. За время эта часть частиц с необходимостью пересечет площадку и перенесет энергию, равную

,

где - скорость частиц в правой области (величины , считаются в первом приближении равными по обе стороны площадки). Аналогично, частицы из левой области пересекают энергию

,

где -скорость частиц слева от площадки. Разность этих энергий, отнесенная к единице времени, представляет собой величину

,

где - внутренняя энергия вещества соответственно слева и справа от площадки, а в качестве берется средняя между и скорость частиц. В первом приближении можно выразить через величину (энергию в точке , т.е. на площадке) следующим образом:

,

.

Поставляя эти выражения для , получаем

, (1)

где .

Проведя такие же рассуждения для компонент , приходим к выражениям

, . (2)

Объединение (1) и (2) дает закон Фурье

. (3)

Величина называется коэффициентом теплопроводности.

Заметим, что коэффициент теплопроводности зависит в общем случае от плотности и температуры вещества:

, (4)

поскольку не только теплоемкость , но и длина свободного пробега также может быть функцией от . Так, например, в газе находящимся в обычных условиях, тепло переносится молекулами (молекулярная теплопроводность). Для величины в этом случае справедливо ~ , а так как ~ , то из (4) имеем ~ (теплоемкость считается постоянной). В плазме (где основную роль в переносе тепла играют электроны) длина пробега электрона зависит от , так что ~ , и для величины справедливо ~ ( - постоянная).

Итак, закон Фурье гласит: поток тепла прямо пропорционален градиенту температуры. Так как тепловая энергия непосредственно связано с температурой, то в определенном смысле можно считать, что «поток» температуры пропорционален градиенту самой температуры. Совершенно такими же свойствами обладает близкий по сущности процесс диффузии вещества (закон Фика). Аналогичную интерпретацию можно придать закону Дарси, хотя движение грунтовых вод по своей природе принципиально отличается от процесса диффузии тепла (и закон Дарси не имеет столь относительно простого теоретического обоснования, как законы Фурье и Фика).