Пространственная решетка. Трансляция. Решетки Браве.

Пространственной решеткой называется совокупность кристаллографических точек, формирующих трехмерную структуру.

Элементарная ячейка – это фрагмент пространственной решетки, характеризующийся наименьшими линейными параметрами, но сохраняющимися соотношениями углов.

Трехмерная трансляционная группа.

Операция бесконечного количества смещений в направлениях и на расстояния t_a, t_b, t_с, параллельно осям x, y, z, приводящая к образованию из каждой данной точки бесконечной трехмерной совокупности идентичных точек, называется трансляционной группой.

Элементарный параллелепипед – элементарная ячейка пространственной решетки, определяемая трансляционной группой (t_a, t_b, t_с) часто называется параллелепипедом повторяемости.

В то время как данной трехмерной трансляционной группе (t_a, t_b, t_с) действующей на точку, отвечает одна единственная, строго определенная пространственная решетка, которая может быть образованна бесконечным множеством трехмерных трансляционных групп (t_a’, t_b’, t_с’), векторов подчиняющихся условию

t’ = ±mt_a’± nt_b’± pt_с’,

т.е представляющих собой векторную сумму или разность исходных или кратных им векторов (m,n,p – целые числа).

Очевидно, что в пространственной решетке можно выбрать трансляционные векторы, а значит и параллелепипеды повторяемости различно.

Параллелепипеды, внутри и на поверхности которых нет узлов, называются однократно примитивными (или простыми). Они имеют 8 узлов (вершин), каждый из которых принадлежит одновременно соседним параллелепипедам, а каждому данному на 1/8. Таким образом его кратность n = (1/8)*8 = 1. Если внутри параллелепипеда имеется еще m узлов, его кратность n = (8/8) + m =m + 1.

Такие параллелепипеды называются одно-, двух- и n-кратно примитивными.

Если объем занимаемый N узлами пространственной решетки равен V, то объем занимаемый одним узлом равен

v = V/N, см³,

двумя узлами 2v и т.д.

Решетки Браве.

Возникновение сложных элементарных ячеек, действием на которые трехмерной трансляционной группы образуется пространственная решетка ставит задачу о возможности существования 6 систем (7 сингоний), представляющих пространство идентичности. Эти разные структуры усложняют теорию симметрии, свидетельствуя о том, что в пределах одного и того же кристаллографического вида симметрии могут существовать различные структурные варианты.

Бравэ объединил 14 решеток в 6 системах. Из теории Бравэ выведена невозможность существования осей 5 порядка. На основе этого Федоров вывел 230 пространственных групп.