Пусть - выборка из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения . Аналогично тому, как теоретической функции распределения ставят в соответствие эмпирическую функцию распределения , любой теоретической числовой характеристике
можно поставить в соответствие ее статистический аналог - выборочную (эмпирическую) числовую характеристику g*, определяемую равенством:
.
С учетом того, что эмпирическая функция распределения является функцией распределения выборочной дискретной случайной величины , принимающей значения (различные среди выборочных значений ) с вероятностями соответственно, то
.
Таким образом, выборочная числовая характеристика , соответствующая теоретической числовой характеристике , есть среднее арифметическое значений функции g(х) для элементов выборки .
В частности, если , то величина
называется выборочным начальным моментом -го порядка. При k = 1 величину , соответствующую теоретическому математическому ожиданию , называют выборочным средним и обозначают :
.
Если , то величина
называется выборочнымцентральным моментом -го порядка. При величину , соответствующую теоретической дисперсии , называютвыборочной дисперсиейи обозначают :
.
Между выборочными начальными и выборочными центральными моментами сохраняются те же соотношения, что и между теоретическими. Например, справедливо равенство
,
являющееся аналогом известного равенства
.
Действительно,
.
Все выборочные числовые характеристики, рассчитанные по заданной выборке, являются числами. Но они могут изменяться случайным образом от выборки к выборке, чем принципиально отличаются от теоретических числовых характеристик. Поэтому для выявления общих свойств, не зависящих от конкретной выборки, выборочные числовые характеристики следует рассматривать как случайные величины, получаемые заменой на - копии наблюдаемой случайной величины . Используемые при этом обозначения:
; ; ;
; .
Таким образом, можно ставить вопрос о нахождении закона распределения выборочных числовых характеристик и их числовых характеристиках.
В дальнейшем мы покажем, что при
,
и, следовательно, неизвестные и можно приближенно определить (оценить) по выборке (тем точнее, чем больше ):