Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

Пусть - выборка объема n из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения .

Эмпирической функцией распределения, соответствующей выборке
, называется функция

,

где - индикатор множества , а - число выборочных значений, не превосходящих .

Неизвестную функцию распределения наблюдаемой случайной величины при этом называют теоретической функцией распределения.

Для заданной выборки эмпирическая функция распределения определена на всей числовой прямой и обладает всеми свойствами обычной функции распределения:

1. для любого ;

2. является функцией неубывающей;

3. является функцией непрерывной слева;

4. является кусочно-постоянной функцией и возрастает только в точках, являющихся значениями случайной величины , причем:

если все значения различны, то

при , , ;

если - различные значения среди , то

,

где - частота значения , .

График эмпирической функции распределения в общем случае имеет в ид:

Другими словами, эмпирическая функция распределения является функцией распределения выборочной дискретной случайной величины , имеющей закон распределения:

			…
			…

Принципиальное отличие эмпирической функции распределения от обычной функции распределения состоит в том, что она может изменяться от выборки к выборке, являясь при любом фиксированном х реализацией случайной функции

,

где - копии случайной величины .

Важнейшим свойством эмпирической функции распределения , как случайной функции, является то, что она для любого при увеличении объема выборки сближается (в смысле сходимости по вероятности) с теоретической функцией распределения .

Теорема 1. Пусть - эмпирическая функция распределения, соответствующая выборке из генеральной совокупности, имеющей теоретическую функцию распределения . Тогда для любого

.

▲ Рассмотрим случайную величину и обозначим (при фиксированном x). Случайные величины принимают два значения 0 и 1 с вероятностями и , соответственно. Поскольку все случайные величины - копии наблюдаемой случайной величины , то . При этом

,

.

Следовательно, последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин подчиняется закону больших чисел, то есть

■.

Таким образом, при больших n эмпирическая функция распределения в каждой точке х может служить приближенным значением (оценкой) неизвестной теоретической функции распределения в этой точке. Эмпирическую функцию распределения при этом также называют статистическим аналогом неизвестной функции распределения .

Справедлив и следующий гораздо более сильный результат, принадлежащий В.И. Гливенко (1933г.).

Теорема 2. (без доказательства). В условиях теоремы 1

Утверждение теоремы 2 означает, что отклонение

эмпирической функции распределения на всей числовой прямой с вероятностью 1 будет сколь угодно мало при достаточно большом объеме выборки.

Приведем еще один результат, принадлежащий А.Н. Колмогорову (1933г.), который позволяет для больших n оценивать вероятности заданных отклонений случайной величины от нуля.

Теорема 3 (без доказательства). Если теоретическая функция распределения непрерывна, то для любого фиксированного

.

При этом предельную функцию можно с хорошим приближением использовать для практических расчетов уже при .

Функция является функцией распределения, если положить при и называется функцией Колмогорова. Она играет большую роль в математической статистике, значения функции табулированы.