На практике наибольшее распространение получил метод Рунге-Кутта 4-го порядка, в котором усреднение проводится по трём точкам, формула Эйлера на каждом отрезке используется 4 раза: в начале отрезка, дважды в его середине и в конце отрезка.
Расчетные формулы метода для дифференциального уравнения (7.3) имеют вид:
, (7.8)
где i = 0, 1, …., n-1 - номер узла;
xi = a + i×h - координата узла;
у0 = у(х0) - начальное условие.
Погрешность метода dМ = О(h5).
Схема алгоритма решения ОДУ методом Рунге-Кутта 4-го порядка отличается алгоритмом расчёта новой точки (Рис. 7.5).
Пример 7.4. Решение ранее рассмотренного уравнения (пример 7.1) методом Рунге-Кутта 4 порядка.
y’ - 2×y + x2 = 1, x Î [0;1], y(0) = 1.
Пусть n = 10 , h = (1 - 0)/10 = 0,1.
Начальная точка x0 = 0, y0 = 1.
Рассчет первой точки.
Сначала вычислим значения C0, C1, C2, C3:
Вычислим значение y1:
Аналогично можно вычислить значения функции во 2, 3, ... , 10 точках.
Рис. 7.7. Схема алгоритма расчета новой точки методом Рунге-Кутта 4-го порядка.
Общая характеристика методов:
1. Все методы являются одношаговыми, то есть для вычисления значения функции в новой точке используется ее значение в предыдущей точке. Это свойство называется самостартованием.
2. Все методы легко обобщаются на системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Тема 8
