Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнение, содержащее производные от искомой функции y = y(x), называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

Общий вид дифференциального уравнения:

(7.1)

где n – наивысший порядок производной, определяет порядок уравнения.

Решением ОДУ называется функция y = y(x), которая после ее подстановки в уравнение (7.1) обращает его в тождество.

Общее решение ОДУ имеет вид:

(7.2)

где C₁, C₂, …, C_n – постоянные интегрирования.

Частное решение получается из общего при конкретных значениях C_i, . Эти значения определяются из n дополнительных условий. В качестве таких условий могут быть заданы значения функции и ее производных при некоторых значениях аргумента x, иначе говоря, в некоторых точках.

В зависимости от того, как заданы эти дополнительные условия, выделяют 2 типа задач:

· Задача Коши. Все условия заданы в одной, начальной точке, поэтому они называются начальными условиями.

· Краевая задача. Условия заданы в более чем одной точке, обычно в начальной и конечной. Условия в этом случае называются краевыми или граничными. Такая задача может возникнуть только при решении ОДУ с порядком выше первого.

Разработано множество методов решения подобных задач:

1. Графические методы. Например, метод изоклин - путем графических построений находят точки исходной функции и строят ее график.

2. Аналитические методы позволяют получить формулу исходной функции путем аналитических преобразований.

3. Приближенные методыпозволяют получить приближенное аналитическое решение в результате принятых упрощений. К приближенным относятся асимптотические методы и метод малых возмущений.

4. Численные методы позволяют получить таблицу приближенных значений искомой функции для ряда заранее выбранных значений ее аргумента.

На практике чаще всего применяются численные методы: они просты в использовании и не имеют ограничений.

Задача решения ОДУ 1-го порядка (задача Коши) формулируется следующим образом:

Найти y = y(x), удовлетворяющую уравнению

y^’ = f(x,y) (7.3)

для x Î [a,b] при заданном начальном условии y(a) = y₀.

Рассмотрим численные методы решения этой задачи.