Выбор шага интегрирования.

При вычислении значения определенного интеграла от функций, заданных аналитически, необходимо обеспечить требуемую точность расчета ε.

Точность вычисления можно повысить двумя способами:

1. Использовать более точную квадратурную формулу.

2. Увеличить количество узлов, соответственно уменьшить шаг интегрирования h.

На практике обычно используется формула Симпсона, а требуемая точность расчета достигается вторым из указанных выше способов. Выполняется расчет с выбранным числом узлов n, затем выполняется расчет с удвоенным их числом. Если результаты отличаются более чем на требуемую точность, число узлов вновь удваивается. Расчет заканчивают, когда , полагая, что , т.е. последнее вычисленное приближенное значение интеграла отличается от точного значения не больше чем на заданную точность.

Такой способ называется автоматическим выбором шага интегрирования и легко реализуется на ЭВМ.

Начальный шаг интегрирования рекомендуется выбирать из соотношения:

где k = 1 для формул правых и левых прямоугольников;

k = 2 для формул трапеций и центральных прямоугольников;

k = 3 для формулы Симпсона.

Рис. 6.10. Схема алгоритма вычисления определенного интеграла

с автоматическим выбором шага интегрирования.

Важно напомнить, что погрешность решения включает погрешности метода δ_M и погрешность округления δ_O. При увеличении числа узлов n δ_M уменьшается, но растет δ_O, т.к. увеличивается количество арифметических действий для решения задачи. Зависимость этих величин показана на графике.

Рис. 6.11. Структура погрешности численного интегрирования.

Из графика следует, что требуемую точность ε следует выбирать больше δ_кр, иначе требуемая точность не может быть достигнута.

Тема 7